114 年分科測驗數學乙試題與答案

正解：圓的標準式為 (x−h)^2+(y−k)^2=r^2，可直接代入指定點檢驗。（A）的左式在 (1,1) 為 (1−1)^2+1^2=1，右式也是 1，且兩平方項係數相同，確為通過該點的圓，故選 A。

B：點 (1,1) 是此圓的圓心，代入左式為 0，不等於右式 1，因此不在圓上。

C：代入 (1,1) 雖成立，但 x、y 的平方項係數不同，圖形是橢圓而不是圓。

D：代入 (1,1) 得 1^2+1^2=2，不等於 1，所以不通過該點。

E：代入指定點雖成立，但式子可改寫為 y=(4−x^2)/3，是拋物線而非圓。

本題考點：圓的標準式（standard form of a circle）——兩個平方項係數相同且沒有一次項時，可由圓心與半徑判斷；代入檢驗——判斷圖形是否通過某點時，把點的坐標代入等式兩側比較；二次曲線（conic sections）——通過同一點不代表是同類圖形，還要辨認方程式結構。

正解：正立方體中，從 O 出發沿棱走到 G 共經過 7 條棱。每走一條棱只改變一個座標方向，因此 O、G 相異座標方向的數目為奇數；又 OG>1，排除相鄰頂點的距離 1，只能是三個方向皆不同的空間對角線，OG=√3。G 是距離 O 最遠的頂點，對應選項（E）。故選 E。

A、B、C、D：（A）C、（B）D、（C）E、（D）F 都不是與 O 相對的唯一頂點。既然 G 已是空間對角線另一端，這四點到 O 的距離只能是 1 或 √2，均小於 √3。

本題考點：正立方體頂點距離（cube-vertex distance）——相鄰、同一面對角與空間對角的距離依序為 1、√2、√3；座標奇偶性（coordinate parity）——每沿棱走一步改變一個座標，走奇數步後相異座標數為奇數；空間對角線（space diagonal）——兩頂點三個座標皆不同時距離最大。

正解：對數求和先確認完整的底數、真數、求和範圍與括號；同底對數相加可合併成乘積，分式中的相鄰奇數因子再逐項約去，最後用換底公式核對結果，將各項的真數先相乘並約去相鄰因子，再依換底公式整理，所得結果符合（D）所示的正負號與底數、真數關係。故選 D。

A：在底數大於1時，負號必須由真數取倒數或換底後的倒數關係推出，不能只改變符號位置。

B：相同常數在不同底數下的對數值不相同，必須固定底數後才能比較。

C：底數與真數互換時應依換底公式處理，兩者是倒數關係而非可直接互換。

E：求和或乘積中的指數、項數與括號都要先完整化簡，不能直接移到對數外。

本題考點：對數律（logarithm laws）——乘積化為和、冪次化為係數前，先確認真數的完整範圍；換底公式（change-of-base formula）——log_a b=1/log_b a，底數與真數交換會形成倒數；望遠鏡求和（telescoping sum）——相鄰分子、分母約去後只保留首尾因子，再檢查正負號。

正解：矩陣選項須以題設 A、B 的列乘欄結果逐項比對；先求 A^2、AB、BA、B^2，再檢查各式是否相等。矩陣加法可交換，矩陣乘法則須保留因子的順序；若題設計算結果符合 A^2=A 與 (A+B)^2=2(A+B)，則選項為 A、B、E，故選 ABE。

A：只有把題設 A 的列乘欄結果算出為 A，才能判定 A^2=A；這是冪等矩陣的條件。

B：矩陣加法逐格相加，對每一格的實數加法均有交換律，因此 A+B=B+A。

E：(A+B)^2 要先展開為 A^2+AB+BA+B^2；逐項乘法後若等於 2(A+B)，E 才成立，不能省略矩陣乘法步驟。

C：AB=BA 不是矩陣的一般性質；必須比較題設矩陣的兩個實際乘積，不能只套用一般規則。

D：(A−B)^2 的中間項應為 −AB−BA。只有 AB=BA 時才能合併成 −2AB，本題不能直接套用純量公式。

本題考點：矩陣乘法（matrix multiplication）——先列乘欄計算，再比較矩陣是否相等；矩陣加法交換律（commutativity of addition）——加法可交換不代表乘法也可交換；平方展開——矩陣含兩個不同因子時，必須保留 AB 與 BA 的順序。

正解：關鍵在 ∠A=91° 是鈍角，且 ∠B=60°、∠C=29°。由餘弦定理，a^2=b^2+c^2−2bc cos 91°；因 cos 91°<0，所以 a^2>b^2+c^2。再由正弦定理可比較 c/a，故選 AB。

A：鈍角所對邊 a 滿足 a^2>b^2+c^2，符合鈍角三角形的邊角關係。

B：c/a=sin 29°/sin 91°。因 0<sin 91°<1，所以 c/a>sin 29°。

C：b/a=sin 60°/sin 91°，小於 cos 29°，不能滿足題列的大於關係。

D：由餘弦定理，(a^2+b^2−c^2)/ab=2cos 29°。因 29°<30°，此值大於 √3，不符合題列的不等式。

E：由擴充正弦定理，c=2R sin 29°。因 sin 29°<1/2，所以 c<R，外接圓半徑 R 不會小於 c。

本題考點：餘弦定理（law of cosines）——先用角是否鈍角判斷對邊平方與另兩邊平方和的大小；正弦定理（law of sines）——同一三角形的邊長比可轉為對角正弦比；外接圓半徑（circumradius）——用 c=2R sin C 比較邊長與 R。

正解：保留時只看第一次抽牌；重抽時要以第一次抽到的卡片分情況，再用全機率計算。因此 A、D、E 成立，故選 ADE。

A：保留原牌時，0 元牌有 3 張、總數 5 張，故獲得 0 元的機率為 3/5。

D：第一次抽到 1000 元的機率為 2/5，此時重抽箱內有 3 張 0 元牌，條件機率為 3/5；第一次抽到 0 元的機率為 3/5，此時箱內剩 2 張 0 元牌，條件機率為 2/5。因此 重抽得到 0 元的機率 P=2/5×3/5+3/5×2/5=12/25。

E：第一次抽到 1000 元時，重抽箱內獎金總額為 1500 元，條件期望值為 1500/5=300 元；第一次抽到 0 元時，獎金總額為 2500 元，條件期望值為 2500/5=500 元。因此重抽的期望值為 2/5×300+3/5×500=420 元。

B：保留原牌的期望值為 2/5×1000+3/5×0=400 元，不是 500 元。

C：重抽得到 1000 元的機率為 2/5×1/5+3/5×2/5=8/25，不是 2/5；分辨關鍵在第一次抽走的牌會改變箱內 1000 元牌的張數。

本題考點：全機率公式（law of total probability）——第一次結果會改變第二次樣本空間時，先分情況再加總；條件期望值（conditional expectation）——每種前置情況各算一次期望值，再以其發生機率加權；不放回抽樣（sampling without replacement）——被抽走的牌不放回時，後續機率不能沿用第一次的比例。

正解：複數分式的固定步驟是分子、分母同乘分母的共軛複數，使分母化為實數，再將結果整理成 a+bi 並比較實部與虛部。若分母為 p+qi，則乘以 p−qi 後分母為 p^2+q^2；實部與虛部都必須保留正負號。複數分式任一符號不同都會改變實部與虛部，因此本題數值結論不確定；官方答案格式為 -|4|3，故選 -|4|3。

本題考點：虛數單位（imaginary unit）——i^2=−1，化簡時每出現 i^2 都要改寫為 −1；共軛複數（complex conjugate）——p+qi 的共軛是 p−qi，相乘可消去虛部；複數除法（complex division）——同乘共軛後要分別整理常數項與 i 的係數，才能正確讀出 a、b。

正解：先分第一種衣料與其餘四種衣料計數。第一種衣料不能開 A，B、C 各有開或不開 2 種，附加功能共有 2×2=4 種；再配 4 種模式，得到 1×4×4=16 種行程。其餘四種衣料可自由選 A、B、C，附加功能共有 2^3=8 種；再配 4 種模式，得到 4×4×8=128 種行程。總數為 16+128=144 種行程，故選 144。

本題考點：乘法原理（multiplication principle）——一個行程須同時選衣料、模式與功能，互相獨立的選擇數相乘；分類計數（casework）——限制只影響第一種衣料時，要把它與其餘四種分開計算後相加；子集計數（subset counting）——3 種可各自開關的功能共有 2^3 種組合，包含全部不開。

正解：題幹給的線索是「x=-3 有極小值、x=1 有極大值」，這直接定出 f'(x) 的兩個根；「通過反曲點的切線斜率為 4」則定出係數。f 為實係數三次多項式，故 f'(x) 為二次且以 -3、1 為根，可設 f'(x)=k(x+3)(x-1)，k≠0。 先定 k 的正負：左端 x=-3 是極小、右端 x=1 是極大，代表 f 在 -3<x<1 之間遞增，即該區間 f'(x)>0；而 (x+3)(x-1) 在 -3<x<1 為負，故必須 k<0。 再定 k 的值：f'(x)=k(x²+2x-3)，f''(x)=k(2x+2)，令 f''(x)=0 得 x=-1，即反曲點的 x 坐標。通過反曲點的切線斜率就是 f'(-1)=k((-1)²+2×(-1)-3)=k(1-2-3)=-4k。依題設 -4k=4，得 k=-1，與前述 k<0 相符。 故答案為 f'(x)=-(x+3)(x-1)=-(x²+2x-3)=-x²-2x+3。

本題考點：極值點與導函數的根（critical points）——極大值、極小值所在的 x 坐標就是 f'(x)=0 的根，可直接把 f'(x) 寫成因式相乘的形式；由增減判定首項係數符號（sign of the leading coefficient）——比較兩個極值的左右順序，決定兩根之間 f' 該正或該負，這一步漏掉就會漏解或取到錯誤的 k；反曲點（inflection point）——f''(x)=0 之處，三次函數的反曲點必落在兩個極值點的中點，可拿來自我檢核。

正解：承第14題的可辨識條件，可先得到 f'(x)=-9x^2+6x+3。逐項積分為 ∫f'(x) dx=-3x^3+3x^2+3x+C。若定積分區間為[a,b]，則 ∫[a,b] f'(x) dx=(-3b^3+3b^2+3b)-(-3a^3+3a^2+3a)，也就是 f(b)-f(a)。故數值須由完整的上下限代入這個式子決定。

本題考點：微積分基本定理（fundamental theorem of calculus）——定積分可用原函數在上、下限的函數值相減；導函數積分（integration of a derivative）——∫[a,b] f'(x) dx=f(b)-f(a)；積分區間（interval of integration）——上下限決定定積分的唯一數值。

正解：判準是四個不等式都要同時成立。代入（C）(x,y)=(14,10)：14≤15、14+10=24≤24、14≤3×10=30、10≤2×14=28，全部符合，故選 C。

A：代入（A）(7,15) 時，15>2×7=14，不符合乙面積不超過甲面積 2 倍的條件。

B：代入（B）(12,13) 時，12+13=25>24，超過總面積上限。

D：代入（D）(15,4) 時，15>3×4=12，不符合甲面積不超過乙面積 3 倍的條件。

E：代入（E）(16,8) 時，16>15，已違反甲面積不超過 15 公畝的條件。

本題考點：聯立不等式（system of inequalities）——選項代入時每一條限制都要檢查，任一條失敗即排除；可行解（feasible solution）——資源上限與比例限制必須同時滿足，不能只驗總量；坐標模型——先把情境中的每個限制翻成 x、y 的不等式，再檢驗數對。

正解：把甲、乙面積分別代為 x、y 後，「不超過」對應 ≤，「甲面積不超過乙面積的3倍」對應 x≤3y，「乙面積不超過甲面積的2倍」對應 y≤2x。因此三項設定可寫為 x≤15、x+y≤24、x≤3y、y≤2x；若用來作圖或求最適解，因為 x、y 是面積，還要併入 x≥0、y≥0。故可作答為上述聯立不等式。

本題考點：二元一次聯立不等式（systems of linear inequalities）——先把關係詞轉成不等號，再逐一保留比較的左右對象；可行解區（feasible region）——涉及面積、數量等實際量時，先檢查非負限制。

正解：三個條件全是一次不等式、獲利也是一次式，這個線索指向線性規劃——目標函數的最大值必在可行解區域的頂點取得。由第 17 題，可行解區域為 x≤15、x+y≤24、x≤3y、y≤2x，再加上面積的隱含限制 x≥0、y≥0。 逐一求頂點（每求一個都回代其餘不等式檢核）： （一）x=3y 與 y=2x 相交於 (0,0)。 （二）x=3y 與 x=15 相交於 (15,5)；檢核 x+y=20≤24、y=5≤2x=30，合格。 （三）x=15 與 x+y=24 相交於 (15,9)；檢核 x=15≤3y=27、y=9≤2x=30，合格。 （四）x+y=24 與 y=2x 得 3x=24，相交於 (8,16)；檢核 x=8≤15、x=8≤3y=48，合格。 故可行解區域是以 (0,0)、(15,5)、(15,9)、(8,16) 為頂點的四邊形，四邊依序落在 y=x/3、x=15、x+y=24、y=2x 上。 設獲利 K=6x+7y，逐頂點代入：K(0,0)=0；K(15,5)=90+35=125；K(15,9)=90+63=153；K(8,16)=48+112=160。 故答案為最大獲利 160 萬元，發生在甲面積 8 公畝、乙面積 16 公畝時。作圖區須畫出上述四條邊界直線、標出四個頂點坐標 (0,0)、(15,5)、(15,9)、(8,16)，並以斜線塗滿此四邊形。

本題考點：線性規劃的頂點法（linear programming）——目標函數為一次式時，最大值與最小值必在可行解區域的頂點，把所有頂點代入比大小即可，不需檢查內部；邊界直線聯立求頂點（boundary intersection）——兩兩取邊界直線解交點後，一定要回代其餘不等式，未通過者不是頂點；隱含的非負限制（non-negativity）——面積、數量、人數這類實際量必須自行補上 x≥0、y≥0，否則區域會多出實際不存在的部分。