112 年分科測驗數學甲試題與答案

正解：兩物質開始時質量相同，112 天後的條件是 mB/mA = 1/4 = 2^-2。依半衰期定義，mA = m0×2^(-112/TA)，mB = m0×2^(-112/TB)，所以 2^(-112/TB+112/TA) = 2^-2。比較指數可得 112/TB = 112/TA+2，等價於 112/TA-112/TB+2 = 0，故選 B。

A：A 的兩個衰變指數沒有形成上述相差 2 的關係，不能表示 B 的質量為 A 的四分之一。

C：C 在整理指數或對數時沒有把 1/4 正確轉成 -2 的指數差，因此不與質量條件等價。

D：D 把質量比直接化成半衰期的線性關係；半衰期出現在指數分母，不能這樣處理。

E：E 同樣未由 mB/mA 的指數比推得兩個倒數半衰期的差，與衰變模型不符。

本題考點：半衰期模型（half-life model）——質量可寫成 m0×2^(-t/T)；指數方程（exponential equation）——相同底數相等時比較指數，比例 1/4 對應指數差 -2。

正解：先把四個已知數逐一代入完整不等式，整理出a、b的共同可行限制，再用這組限制檢驗各選項的必然性；符合條件的是（A）與（B），故選 AB。

A：將選項中的數值代入原不等式，依四個已知數形成的共同限制可推出該敘述成立，因此入選。

B：把同一組限制改寫成選項所列的等價不等式，可推出其中列出的數值仍滿足條件，因此入選。

C：選項列出的數值與不等式，不能由a、b的共同限制必然推出，故不入選。

D：由共同限制不能推出b必可取選項所列的特定值，故不入選。

E：a、b相等是額外關係，不能由四個已知數滿足原不等式必然推出，故不入選。

本題考點：不等式的可行域（feasible set）——多個已知條件要取共同限制，不能只看其中一個代入結果；必要與充分條件（necessary and sufficient conditions）——選項須是所有符合題設參數都成立的結論，才可判定為正確。

正解：係數皆為實數時，非實根必與其共軛複數成對出現。已知 1+2i 是根，1-2i 也是根，故 f(x) 含因子 x^2-2x+5。設另一個首項係數為 1 的二次因子為 x^2+px+q，比較 x^3 係數得 p-2=-4，所以 p=-2；比較 x^2 係數得 q-2p+5=-2，所以 q=-11。因而 f(x)=(x^2-2x+5)(x^2-2x-11)，可得 a=12、b=-55，且 f'(x)=4(x-3)(x-1)(x+1)。由 f'(2.1)<0，故選 A、C。

A：1-2i 是 1+2i 的共軛複數；實係數多項式有一個非實根時，必同時有其共軛根，故入選。

C：f'(2.1)=4(2.1-3)(2.1-1)(2.1+1)<0，故入選。

B：b=-55 為負數，不能說 a、b 都是正數。

D：在 x=1 的導數由正變負，圖形為局部極大值，不是局部極小值。

E：f''(x)=12x^2-24x-4 的兩個零點中有一個小於 0，因此反曲點的 x 坐標不會全都大於 0。

本題考點：共軛複根定理（conjugate root theorem）——實係數多項式的非實根必成共軛對；係數比較（coefficient comparison）——已知因子後展開或比較同次項係數可求未知參數；導數符號（derivative sign test）——由 f' 在臨界點兩側的正負判斷極大或極小。

正解：令 Δ=ad-bc，因 u、v 的第三分量都是 0，矩陣 A 的行列式可沿第三行列展開為 det(A)=tΔ。又 w 同時垂直於 u、v。若 u、v 在 xy 平面線性獨立，兩者的共同垂直方向只能平行 z 軸，故非零 w 必有 t≠0，故選 A、D、E。

A：u、v 都非零且內積為 0，代表兩個平面向量互相垂直，必線性獨立，因此 Δ≠0，故入選。

D：任意 (e,f,g) 都能表示成 u、v、w 的線性組合，表示三向量張成整個三維空間，這三個向量線性獨立，故 Δ≠0，故入選。

E：若 Δ≠0，u、v 在 xy 平面線性獨立；非零且同時垂直於它們的 w 必有 t≠0，所以 det(A)=tΔ≠0，故入選。

B：t≠0 不代表 u、v 線性獨立。例如 u、v 可以平行，而 w 取 z 軸方向，此時 Δ仍可為 0。

C：若存在兩個都垂直於 u、v 且彼此不平行的向量，u、v 的共同垂直空間至少為二維，反而表示 u、v 線性相依，故 Δ=0。

本題考點：行列式與線性獨立（determinant and linear independence）——平面向量 u、v 的 Δ=ad-bc 非零當且僅當它們線性獨立；正交補空間（orthogonal complement）——兩個獨立平面向量的共同垂直方向只有一維；張成空間（span）——三向量能表示所有三維向量時，矩陣必可逆。

正解：對非零複數 z=re^(iθ)，由 z^3=4i z̄ 可得 r^3 e^(3iθ)=4r e^(i(π/2-θ))。比較絕對值得 r^2=4，所以 r=2；比較輻角得 4θ=π/2+2kπ。因此 B 的 |α|=2 正確。若 β=iα，則 β^3=(iα)^3=-iα^3=-i(4iᾱ)=4ᾱ，而 β̄=-iᾱ，故 4iβ̄=4ᾱ，β 也滿足同一方程，故選 B、C。

B：任何非零解的絕對值都由 r^2=4 決定為 2，故入選。

C：乘上 i 後的 β 仍滿足 β^3=4iβ̄，如上式所示，故入選。

A：z=2i 時，z^3=-8i，而 4iz̄=8，兩側不相等。

D：解的輻角為 π/8+kπ/2；換成主輻角後最小者不是選項所列的 π/6。

E：k 在一個完整 2π 範圍內給出 4 個相異輻角，因此非零解不是 3 個。

本題考點：複數的極式（polar form）——乘冪時絕對值乘冪、輻角倍增；共軛複數（complex conjugate）——z̄ 的輻角為 -θ；主輻角（principal argument）——求最小值時要先把所有同餘輻角轉到主值範圍。

正解：題目所求是MN^2，不是MN。取直角頂點C=(0,0)、A=(√3,0)、B=(0,2)，則AB=√7。依兩個等腰三角形都在ABC外側的條件，頂點可取為M=(5/(2√3),3/2)與N=(√3/2,−1/2)。因此 MN^2=(5/(2√3)−√3/2)^2+(3/2−(−1/2))^2 =(1/√3)^2+2^2=1/3+4=13/3。 填答欄以分子、分隔線、分母依序填1|3|3。

本題考點：等腰三角形與120°頂角（isosceles triangle with 120-degree vertex angle）——由對半後的60°直角三角形，可把腰長與高都改寫成底邊的倍數；座標法（coordinate method）——先固定直角三角形位置，再依外側方向定位M、N；平方距離（squared distance）——依題目問的是MN^2或MN選用相應的距離公式，不能把平方量當作線段長。

正解：直線可寫成 P(t) = P0+t(1,-2,2)。將其代入平面左側 2x+3y+6z，參數每增加 1，左側增加 2×1+3×(-2)+6×2 = 8；因此兩個平面的參數差為「兩平面常數差」/8。方向向量長度為 √(1^2+(-2)^2+2^2) = 3，所以截線段長為 3×|兩平面常數差|/8。代入完整平面式的常數後得到 21/4，依填答欄位格式寫成 2|1|4，故選 2|1|4。

本題考點：直線參數式（parametric equation of a line）——把 P0+t v 代入平面式，可由 t 的差求兩交點；平行平面的截線段（segment cut by parallel planes）——參數差乘上方向向量長度才是實際距離，不能直接把平面常數差當作線段長。

正解：先以容斥原理合併兩個得獎條件。四位數大於 6400 時，首位為 7、8、9 的排列數分別為 8×7×6 + 3×7 = 357、8×7×6 + 3×8×7 = 504、357，合計 1218。首位為 6 時，百位為 4、5、7、9 各有 7×6 + 1 = 43 種，百位為 8 有 7×6 + 2×7 = 56 種，合計 4×43 + 56 = 228；故大於 6400 的共有 1446。含兩個 8 的排列有 C(4,2)×8×7 = 336，兩條件重複者有 228。因此得獎數 = 1446 + 336 − 228 = 1554，故選 1554。

本題考點：容斥原理（inclusion-exclusion principle）——同時滿足兩個得獎條件的排列會重複計數，最後必須扣回交集；排列計數（permutation）——抽出順序會改變四位數，剩餘不同數字應依位置排列；重複元素（repeated element）——兩張 8 可同時出現，但其他數字不能重複，計數時要將這個限制獨立處理。

正解：題眼是「圖形與圓皆通過點 P(1, 1/2)」——這一句同時把 a 與 b 鎖死，必須先解出它們才有座標可算。把 P(1, 1/2) 代入 f(x) = ax²：1/2 = a × 1²，得 a = 1/2。再把 P 代入 Ω：1² + (1/2)² - 3 × (1/2) + b = 0，即 1 + 1/4 - 3/2 + b = 0，得 b = 1/4。將 Ω 配方：x² + (y - 3/2)² = 9/4 - b = 9/4 - 1/4 = 2，故圓心 C(0, 3/2)、半徑 r = √2。接著算兩個向量：向量 CO = O - C = (0 - 0, 0 - 3/2) = (0, -3/2)；向量 CP = P - C = (1 - 0, 1/2 - 3/2) = (1, -1)。內積 CO·CP = 0 × 1 + (-3/2) × (-1) = 3/2。長度 |CO| = 3/2，|CP| = √(1² + (-1)²) = √2——這個值恰等於半徑 √2，正好可當作 P 在圓上的檢核。故 cos θ = (3/2)/((3/2) × √2) = 1/√2 = √2/2。故答案為 √2/2。

本題考點：由「圖形通過某點」定未知係數——判準是把該點座標代進方程式，有幾個未知數就找幾個通過條件，是這類題固定的第一步。圓的一般式配方——x² + y² + Dx + Ey + F = 0 配方為 (x + D/2)² + (y + E/2)² = (D² + E² - 4F)/4，圓心與半徑一次讀出。向量夾角的餘弦公式——cos θ = (u·v)/(|u||v|)，代入前先確認兩向量都以夾角頂點（此處為 C）為起點，起點取錯會算成補角。

正解：題眼是「共同切線」——兩條切線都通過同一點 P，所以只要證明「兩者在 P 的切線斜率相等」，由「過定點且斜率確定的直線唯一」即可斷定它們是同一條直線，不必分別把兩條直線求出來再比對係數。由第 12 題已得 a = 1/2、b = 1/4，即 f(x) = x²/2，Ω 的圓心 C(0, 3/2)、半徑 √2。拋物線側：f′(x) = x，在 P(1, 1/2) 處的切線斜率 m₁ = f′(1) = 1。圓側：圓在其上一點的切線必垂直於過該點的半徑，向量 CP = (1 - 0, 1/2 - 3/2) = (1, -1)，其斜率為 (-1)/1 = -1，故切線斜率 m₂ 須滿足 m₂ × (-1) = -1，得 m₂ = 1。因此 m₁ = m₂ = 1，且兩條切線都通過 P(1, 1/2)，故為同一條直線，其方程式為 y - 1/2 = 1 × (x - 1)，即 y = x - 1/2。得證 y = f(x) 的圖形與 Ω 在 P 點有共同的切線。故可作答「f′(1) = 1；CP 的斜率為 -1，故 Ω 在 P 的切線斜率為 1；兩切線斜率相等且同過 P，由過定點且斜率確定之直線唯一，兩者為同一直線 y = x - 1/2，故得證」。

本題考點：多項式函數的切線斜率——判準是該點的導數值 f′(x₀)，先求導再代點，不要先代點再求導。圓的切線判準——切線垂直於過切點的半徑，故切線斜率 = -1/(半徑向量的斜率)；半徑向量為鉛直時斜率不存在，切線為水平線，須另外討論。「共同切線」的證明骨架——同一點加同斜率即為同一直線，把幾何敘述轉成「斜率相等」這個可計算的條件，是這類證明題的關鍵一步。

正解：題眼是「y = f(x) 圖形上方與 Ω 下半圓弧所圍區域」——必須先定出上、下兩條邊界曲線與積分的上下限，才能列式。由前兩小題，f(x) = x²/2，Ω 的圓心 C(0, 3/2)、半徑 √2，其下半圓弧為 y = 3/2 - √(2 - x²)。先求交點：把 x² = 2y 代入 Ω 的方程式 x² + y² - 3y + 1/4 = 0，得 2y + y² - 3y + 1/4 = 0，即 y² - y + 1/4 = 0，(y - 1/2)² = 0，得 y = 1/2（重根，正是第 13 題「相切」的代數證據），對應 x² = 2 × (1/2) = 1，x = ±1，故積分區間為 -1 ≤ x ≤ 1。再判斷上下：取 x = 0，下半圓弧 y = 3/2 - √2 ≈ 0.086，拋物線 y = 0，故此區間內圓弧在上、拋物線在下。列式：A = ∫(-1 到 1) [(3/2 - √(2 - x²)) - x²/2] dx。逐項算：∫(-1 到 1) (3/2) dx = 3；∫(-1 到 1) (x²/2) dx = (1/2) × (2/3) = 1/3；∫(-1 到 1) √(2 - x²) dx 用幾何拆法——它等於圓 x² + y² = 2 的上半部在 -1 ≤ x ≤ 1 之間所圍的面積，可拆成圓心角 90 度的扇形（面積 = (1/2) × 2 × (π/2) = π/2）加上兩個直角邊各為 1 的直角三角形（合計 2 × (1/2) × 1 × 1 = 1），即 1 + π/2。代回：A = 3 - (1 + π/2) - 1/3 = 2 - π/2 - 1/3 = 5/3 - π/2。數值檢核：5/3 ≈ 1.667、π/2 ≈ 1.571，A ≈ 0.096，是一塊兩端相切、中間微張的狹長月牙形，與圖形吻合。故答案為 5/3 - π/2。

本題考點：兩曲線圍成面積的列式——A = ∫(上曲線 - 下曲線) dx，上下關係要在區間內取一個代表點實際代值確認，不可憑草圖直覺。相切的代數訊號——聯立後出現重根即代表相切，可回頭印證上一小題的幾何結論，也順便定出積分上下限。含 √(a² - x²) 的定積分——可用「扇形加三角形」的幾何拆解取代三角代換，考場上更快且不易在換元邊界上出錯。

正解：旋轉不改變橢圓的兩軸長。Γ′的二次型係數矩陣為 [[40,2√5],[2√5,41]]，其特徵方程式為 λ^2−81λ+1620=0，即 (λ−36)(λ−45)=0。由 36u^2+45v^2=180 可得對應半軸長分別為 √(180/36)=√5 與 √(180/45)=2；較短半軸長為2。特徵值45的特徵向量可取 (2,√5)，所以 Γ′ 的短軸所在直線為 2√5x−4y=0（即 y=(√5/2)x），短軸長=2×2=4。

本題考點：橢圓旋轉（ellipse rotation）——純旋轉保留中心、半軸長與面積，只改變軸的方向；二次型特徵值（eigenvalues of a quadratic form）——將係數矩陣對角化後，較大係數對應較短半軸，因為半軸長為 √(常數／係數)。

正解：題眼是「P′ 落在 x 軸上且 P′ 的 x 坐標大於 0」——這一句把 P′ 唯一鎖定，於是只要再求出旋轉角 θ，把 P′ 逆旋轉回去就得到 P。第一步求 P′：令 y = 0 代入 Γ′：40x² + 4√5xy + 41y² = 180，得 40x² = 180，x² = 9/2，x = ±3/√2；因 x 坐標大於 0，取 P′ = (3√2/2, 0)。第二步求 θ：由第 16 題，Γ：x²/4 + y²/5 = 1，其離原點最遠的點為長軸端點 (0, ±√5)。逆時針旋轉 θ 角把 (0, √5) 送到 (0 × cos θ - √5 sin θ, 0 × sin θ + √5 cos θ) = (-√5 sin θ, √5 cos θ)，而題目給的最遠點之一為 (-5/3, 2√5/3)，兩者對應相等：-√5 sin θ = -5/3 得 sin θ = 5/(3√5) = √5/3；√5 cos θ = 2√5/3 得 cos θ = 2/3。檢核：(√5/3)² + (2/3)² = 5/9 + 4/9 = 1 成立，且 sin θ > 0 合於 0 < θ < π。第三步把 P′ 逆旋轉 -θ 得 P：(x, y) = (x′cos θ + y′sin θ, -x′sin θ + y′cos θ)，代入 x′ = 3√2/2、y′ = 0：x = (3√2/2) × (2/3) = √2；y = -(3√2/2) × (√5/3) = -(√2 × √5)/2 = -√10/2。故 P = (√2, -√10/2)。檢核：代回 Γ 得 (√2)²/4 + (-√10/2)²/5 = 2/4 + (10/4)/5 = 1/2 + 1/2 = 1，確實在 Γ 上。故答案為 P(√2, -√10/2)。

本題考點：旋轉變換的座標公式——逆時針轉 θ 時 (x, y) 映到 (x cos θ - y sin θ, x sin θ + y cos θ)；由像回推原像就代 -θ，公式中 sin θ 前的正負號互換，這一步寫反是最常見的失分點。用長軸端點的像定出旋轉角——原橢圓的長軸端點已知、它的像（離原點最遠點）也已知，令兩者對應相等即可同時解出 sin θ 與 cos θ，比從二次型的交叉項反解倍角快且不會有多解困擾。答案回代驗算——把求得的 P 代回 Γ 的標準式檢查是否等於 1，是計算題最便宜的自我檢核手段。