111 年分科測驗數學甲試題與答案

正解：已知等比數列首項為10、公比為10，可先寫出a_n=10^n，因此a1=10、a2=100、a3=1000、a4=10000。判定b時，必須把這四項依題目給定的求和式逐項代入，算出b後再核對4<b≤5，故選 C。

A：區間2<b≤3與計算後的b值不符，故不入選。

B：區間3<b≤4與計算後的b值不符，故不入選。

D：區間5<b≤6與計算後的b值不符，故不入選。

E：區間6<b≤7與計算後的b值不符，故不入選。

本題考點：等比數列（geometric sequence）——通項可寫成首項乘以公比的n−1次方；代入化簡（substitution and simplification）——範圍題先列出所有指定項，再代入題定運算式；不等式區間（inequality interval）——計算出b後，逐一核對嚴格與非嚴格端點。

正解：三元一次方程組無解的判準是係數矩陣與增廣矩陣的秩不同，列運算後會出現0=非0。應先把三式寫成增廣矩陣，求使係數矩陣降秩的c，再把候選值代回檢查常數項；c=−2時會出現矛盾列，故選 B。

A：c=−3代回後不會產生無解所需的矛盾列，故不入選。

C：c=0代回後不符合係數矩陣與增廣矩陣秩不同的條件，故不入選。

D：c=2代回後不會出現0=非0，故不入選。

E：c=3代回後同樣不符合無解的秩條件，故不入選。

本題考點：線性方程組一致性（consistency of linear systems）——無解對應增廣矩陣出現矛盾列0=非0；矩陣秩（matrix rank）——係數矩陣與增廣矩陣的秩不同時，方程組無解；參數判定（parameter analysis）——先找使係數相依的參數，再代回常數項檢驗。

正解：Γ是圓心(1,1)、半徑√101的圓。令y=0或x=0，都得到另一座標為11或−9，所以負半軸交點分別為(−9,0)、(0,−9)。圓心到原點距離為√2，圓上到原點最遠距離為√2+√101。旋轉是保距線性變換，圓仍為圓，其二次式可維持不含xy項，故選 ACE。

A：代入y=0得(x−1)^2=100，負向交點為(−9,0)；代入x=0同理得到(0,−9)。

C：最遠點在原點、圓心與該點共線且向外的一側，距離為圓心距離加半徑，即√2+√101。

E：旋轉保持x²+y²這個二次型，僅改變圓心座標，因此展開後不會產生xy項。

B：x座標最大處在圓心右方，點應為(1+√101,1)，不是(11,0)。

D：第三象限只限制極角在π與3π/2之間；半徑還會隨射線與圓的交點改變，不能以該選項的固定形式表示所有點。

本題考點：圓的一般式與標準式（circle equation）——由(x−h)^2+(y−k)^2=r²直接讀出圓心與半徑；三角不等式（triangle inequality）——圓上到固定點的最遠距離等於圓心距離加半徑；正交旋轉（orthogonal rotation）——旋轉保距且保持x²+y²的二次型結構。

正解：矩陣M的第一、二欄分別是A′=(3,3)與B′=(−3,3)，所以M=[[3,−3],[3,3]]。兩欄內積為3×(−3)+3×3=0，且兩欄長度都為√18=3√2，因此M^T M=18I。對任意OC=1的點C=(x,y)，都有OC′=|MC|=3√2，B成立。

D：由M可得x′=3x−3y、y′=3x+3y。條件y=y′化為3x+2y=0，這條通過原點的非零直線與x^2+y^2=1相交，所以確實存在符合條件的C。

A：行列式為3×3−(−3)×3=18，不是選項所列的6。

C：對單位向量C，OC·OC′=3(x^2+y^2)=3，而|OC|×|OC′|=3√2，所以夾角的餘弦為1/√2，夾角是45°，不是60°。

E：x′<y′等價於3(x−y)<3(x+y)，也就是y>0；x<y不保證y>0，例如C=(−1,0)時x<y但x′=y′=−3。

本題考點：線性變換矩陣（linear transformation matrix）——標準基底的像就是矩陣的欄向量；內積與長度（dot product and norm）——內積判斷夾角，向量範數判斷縮放倍率；線性方程與單位圓（line-circle intersection）——將限制化成直線後，檢查該直線是否與x^2+y^2=1相交。

正解：先把題設的逐項不等式移項，分別得到b_n的上下界，再對n→∞使用a_n→6；有限項a10000必須代入題目給定的n相關界，不能只用極限值直接判斷。依此判準，成立的是（B）與（E），故選 BE。

B：把題設不等式移項後，b_n的界限方向與（B）一致，且和a_n收斂至6相容，因此入選。

E：將n=10000代入題設的明示界，再比較a10000與6的差距，可得到（E）所述的不等式方向，因此入選。

A：其不等式方向與移項後得到的b_n界限不符。

C：題設已對b_n給出逐項限制，不能只因沒有直接寫出通項便判定數列可能發散。

D：把n=10000代入題設界限後，不支持此敘述。

本題考點：數列極限（limit of a sequence）——先把極限條件轉成可比較的上下界，再判斷每個敘述；夾擠定理（squeeze theorem）——同一數列受到上下界限制時，須同時檢查兩側，不能只看其中一邊。

正解：先算一位顧客在最多 3 回抽籤中得到紅包的機率。前兩回皆抽到大吉的機率為 p1=(1/5)×(1/5)=1/25=5/125。若前兩回尚未達成，而第 2、3 回連續抽到大吉，新增的抽籤序列只能是「非大吉、大吉、大吉」，其機率為 p2=(4/5)×(1/5)×(1/5)=4/125。因此單一顧客得紅包的機率 p=p1+p2=9/125=0.072。

第一位得紅包的顧客序號 X 服從成功機率為 9/125 的幾何分配，所以 E(X)=1/p=125/9=13.888（循環小數）位顧客。四捨五入到整數位為 14 位顧客，依題目的兩格填答格式為 1|4，故選 1|4。

本題考點：伯努力試驗（Bernoulli trial）——每位顧客是否得紅包只有成功與失敗兩種結果，且各顧客的抽籤過程獨立；互斥事件加法（addition rule for disjoint events）——把第 2 回停止與第 3 回才停止的成功序列分開相加；幾何分配（geometric distribution）——首次成功所需試驗次數的期望值為 1/p。

正解：將週一、二、三、四記為1、2、3、4。國文固定在週一，英文可在週一、三、四。英文若在週一，剩餘三科必須分別填滿週二、三、四，有3!=6種。英文若在週三，剩餘三科的4³=64種安排中，扣掉未發週二的3³=27種與未發週四的3³=27種，再加回兩天都未發的2³=8種，得64−27−27+8=18種；英文在週四同理也有18種。總數為6+18+18=42，故填 4、2。

本題考點：滿射計數（surjection counting）——每一天至少一張時，可用容斥原理扣除未被安排的日期；容斥原理（inclusion-exclusion principle）——同時扣除兩個限制時，要把被重複扣除的交集加回；排列組合（combinatorics）——固定一科日期後，剩餘科目依是否必須覆蓋指定日期分情況計數。

正解：題眼是題幹同時給了 |a| + |b| = 9、|a − b| = 7，又明說「利用向量 a、b、a − b 所形成的三角形」，這組「三邊長已知、求夾角餘弦」的訊號直接觸發餘弦定理。令 |a| = x，則 |b| = 9 − x，三角形三邊為 x、9 − x、7，而 θ 是 a 與 b 的夾角，對邊即 |a − b| = 7。由餘弦定理：7^2 = x^2 + (9 − x)^2 − 2x(9 − x)cosθ，展開右側前兩項得 x^2 + (81 − 18x + x^2) = 2x^2 − 18x + 81，所以 49 = 2x^2 − 18x + 81 − 2x(9 − x)cosθ。移項：2x(9 − x)cosθ = 2x^2 − 18x + 81 − 49 = 2x^2 − 18x + 32，兩邊同除以 2 得 x(9 − x)cosθ = x^2 − 9x + 16，故 cosθ = (x^2 − 9x + 16)/(9x − x^2)。要湊成題幹的 c/(9x − x^2) + d，把分子改寫為 −(9x − x^2) + 16，於是 cosθ = 16/(9x − x^2) − 1，比對可知 c = 16、d = −1。接著微分：f(x) = 16(9x − x^2)^(−1) − 1，依連鎖律 f'(x) = −16(9x − x^2)^(−2) × (9 − 2x) = 16(2x − 9)/(9x − x^2)^2。故答案為 f(x) = 16/(9x − x^2) − 1，f'(x) = 16(2x − 9)/(9x − x^2)^2，定義域為 1 < x < 8。

本題考點：餘弦定理（law of cosines）——三邊長已知而要求夾角餘弦時直接套 c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos C，先認出哪一邊是夾角的對邊；分式改寫——要湊出 c/g(x) + d 的形式，把分子拆成「g(x) 的倍數加常數」最快；連鎖律微分（chain rule）——對 1/u(x) 微分得 −u'(x)/u(x)^2，分母平方與內層導數都不可漏。

正解：題眼有兩個——「遞增、遞減」要用 f'(x) 的正負判定，「夾角 θ 最大」則要先做一次轉換：θ 在 0 < θ < π 內，cosθ 對 θ 是遞減函數，所以 cosθ 取最小值時 θ 才最大。由第 15 題的結果，f'(x) = 16(2x − 9)/(9x − x^2)^2。在定義域 1 < x < 8 內，9x − x^2 = x(9 − x) > 0，故分母 (9x − x^2)^2 > 0 恆成立，f'(x) 的正負完全由分子 16(2x − 9) 決定：當 1 < x < 9/2 時 2x − 9 < 0，f'(x) < 0，f(x) 遞減；當 x = 9/2 時 f'(x) = 0；當 9/2 < x < 8 時 2x − 9 > 0，f'(x) > 0，f(x) 遞增。f' 由負轉正，故 x = 9/2 是極小值點，也是定義域上的最小值點，其值 f(9/2) = 16/(9 × 9/2 − (9/2)^2) − 1 = 16/(40.5 − 20.25) − 1 = 16/20.25 − 1 = 64/81 − 1 = −17/81 ≈ −0.21。cosθ = f(x) 在此取最小值，對應 θ 最大；此時 |a| = 9/2、|b| = 9 − 9/2 = 9/2，兩向量等長。故可作答「f(x) 在 1 < x < 9/2 遞減、在 9/2 < x < 8 遞增，於 x = 9/2 有最小值 −17/81；因為 0 < θ < π 時 cosθ 為遞減函數，cosθ 最小即 θ 最大，所以 x = 9/2 時夾角 θ 最大」。

本題考點：導數判增減——分母是平方式時只看分子的正負號，可省去整體通分計算；三角函數單調性轉換——在 0 < θ < π 中 cosθ 遞減，求「角度最大」要轉成求「餘弦最小」，這一步漏掉會把答案答反；極值檢驗——f'(x) 由負轉正的點是極小值點，一階變號即可判定，不必再算二階導數。

正解：題眼是「一次估計（一次近似）」加上 x = 4.96 很接近整數 5，觸發的規則是切線近似 f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x − a)，基準點取 a = 5——它落在定義域 1 < x < 8 內，且 9 × 5 − 5^2 = 45 − 25 = 20 為整數，算起來最乾淨。先算基準值：f(5) = 16/(9 × 5 − 5^2) − 1 = 16/20 − 1 = 0.8 − 1 = −0.2。再算該點斜率：f'(5) = 16 × (2 × 5 − 9)/20^2 = 16 × 1/400 = 0.04。最後把 x − a = 4.96 − 5 = −0.04 放進切線式：f(4.96) ≈ f(5) + f'(5) × (−0.04) = −0.2 + 0.04 × (−0.04) = −0.2 − 0.0016 = −0.2016。自檢：f'(5) > 0 而 x 比 5 小，近似值應略小於 f(5) = −0.2，−0.2016 確實略小，符號沒有代反。故答案為 cosθ ≈ −0.2016。

本題考點：一次（線性）近似——用 f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x − a)，基準點 a 要挑靠近目標值又讓 f(a)、f'(a) 好算的數；近似值方向自檢——由 f'(a) 的正負與 x − a 的正負判斷近似值該比 f(a) 大還是小，可當場抓出代反號的錯。