分科測驗數學甲歷屆試題

正解：以可重整出的配置計數時，Γ₂ 與 x+y=0 的交點連同其餘六點，恰可形成四組三點共線，分別落在 x+y=2、x+y=−2、x−y=2、x−y=−2。任取兩點原有 C(8,2)=28 組；每組三點共線把同一直線算了 3 次，應各扣 2。關鍵直線的記號判讀仍有不確定性；採此配置可得 28−4×2=20，故選 C。

A：12 只保留了少數共線直線，沒有計入其他兩點所決定的直線。

B：16 仍少計了不同共線組以外的兩點連線。

D：24 相當於只扣除兩組三點共線所造成的重複計數，少辨認了另外兩組。

E：28 把所有兩點配對都當成不同直線，忽略三點共線時的重複。

本題考點：兩點決定一直線（line determined by two points）——先以 C(n,2) 計全部兩點配對，再處理重複；三點共線的重複計數（collinearity overcounting）——一組三點把 1 條線算成 3 組配對，須扣 2；座標幾何（coordinate geometry）——列出各點所在的直線可系統辨認共線組。

正解：題幹給了 f(x)=3ax²+(1−a) 以及「Γ 為 y=f(x) 與 x 軸在 −1≤x≤1 所圍的區域」，這兩個條件觸發「先確認被積函數在該區間上不變號，再用定積分算面積」這條規則——只要 f 在 [−1,1] 上恆非負，Γ 的面積就等於 ∫(−1→1) f(x) dx，不必分段。 第一步，證明 f(x)≥0 於 −1≤x≤1。f(x)=3ax²+(1−a) 對稱於 x=0，且 x² 在 [−1,1] 的值域為 [0,1]。 （一）當 0≤a≤1 時，3ax²≥0，故 f(x)≥f(0)=1−a≥1−1=0。 （二）當 −1/2≤a<0 時，3ax² 隨 x² 增大而變小，最小值出現在 x=±1，f(±1)=3a+(1−a)=1+2a≥1+2×(−1/2)=0。 兩種情形合起來：對每個 a∈[−1/2,1]，在 −1≤x≤1 上都有 f(x)≥0，所以 Γ 的面積 A=∫(−1→1) f(x) dx。 第二步，把積分做完。A=∫(−1→1) [3ax²+(1−a)] dx=[ax³+(1−a)x](−1→1)=[a·1³+(1−a)·1]−[a·(−1)³+(1−a)·(−1)]=(a+1−a)+(a+1−a)=2a+2(1−a)=2a+2−2a=2。 含 a 的 2a 與 −2a 恰好相消，結果與 a 無關，且上式對 a=−1/2 到 a=1 的每一個值都成立。 故可作答「因 3ax²+(1−a)≥0 於 [−1,1]（a≥0 時最小值 1−a≥0，a<0 時最小值 1+2a≥0），面積 =∫(−1→1)(3ax²+1−a)dx=[ax³+(1−a)x](−1→1)=2a+2(1−a)=2，與 a 無關，故對所有 a∈[−1/2,1] 面積皆為 2」。

本題考點： 1. 定積分求面積的前提檢查（sign check before integration）：看到「曲線與 x 軸所圍區域」先問被積函數在區間內會不會變號；不變號才可直接積分，變號就得拆區間取絕對值。本題的參數範圍 −1/2≤a≤1 正是為了讓 f 不變號而設。 2. 含參數積分的「參數是否消去」判讀：把積分算成 a 的多項式後，看 a 的係數是否為 0；係數為 0 即代表結果與參數無關，這比逐個代 a 值驗證更有效。 3. 偶函數對稱性：x² 為偶函數、常數為偶函數，故 ∫(−1→1) 可寫成 2∫(0→1)，可當作驗算的第二條路徑。

正解：題眼是「兩平面的交線」——交線同時落在兩個平面內，故其方向向量與兩平面的法向量都垂直，可直接取兩法向量的外積當方向向量。

三平面的法向量為 n₁ = (1, 1, 1)、n₂ = (1, −1, 1)、n₃ = (1, −1, −1)。

L₁ = E₂ ∩ E₃，方向 v₁ = n₂ × n₃ = (1, −1, 1) × (1, −1, −1) = ((−1)(−1) − (1)(−1), (1)(1) − (1)(−1), (1)(−1) − (−1)(1)) = (2, 2, 0)。 L₂ = E₃ ∩ E₁，方向 v₂ = n₃ × n₁ = (1, −1, −1) × (1, 1, 1) = ((−1)(1) − (−1)(1), (−1)(1) − (1)(1), (1)(1) − (−1)(1)) = (0, −2, 2)。 L₃ = E₁ ∩ E₂，方向 v₃ = n₁ × n₂ = (1, 1, 1) × (1, −1, 1) = ((1)(1) − (1)(−1), (1)(1) − (1)(1), (1)(−1) − (1)(1)) = (2, 0, −2)。

三個外積皆非零向量，故三平面兩兩不平行，三條交線確實存在且兩兩不平行。

三個方向向量長度相同：|v₁| = |v₂| = |v₃| = √(2² + 2² + 0²) = √8 = 2√2，故 |vᵢ||vⱼ| = 2√2 × 2√2 = 8。

內積： v₁·v₂ = 2×0 + 2×(−2) + 0×2 = −4 v₂·v₃ = 0×2 + (−2)×0 + 2×(−2) = −4 v₃·v₁ = 2×2 + 0×2 + (−2)×0 = 4

夾角： cos∠(v₁, v₂) = −4/8 = −1/2，兩向量夾 120°，故 L₁ 與 L₂ 所夾銳角 α = 180° − 120° = 60°。 cos∠(v₂, v₃) = −4/8 = −1/2，同理 L₂ 與 L₃ 所夾銳角 β = 60°。 cos∠(v₃, v₁) = 4/8 = 1/2，兩向量夾 60°，已是銳角，故 L₃ 與 L₁ 所夾銳角 γ = 60°。

三者皆為 60°，得證。故可作答「L₁、L₂、L₃ 的方向向量分別為 (2, 2, 0)、(0, −2, 2)、(2, 0, −2)，三者長度皆為 2√2，兩兩內積的絕對值皆為 4，故兩兩夾角餘弦的絕對值皆為 4/8 = 1/2，所夾銳角 α = β = γ = 60°」。

本題考點：兩平面交線的方向向量——取兩法向量的外積；外積為零向量即表示兩平面平行或重合、無唯一交線，動手前先確認它非零。直線夾角的求法——用方向向量內積求餘弦，若得負值代表取到的是鈍角，直線夾角取其補角；實務上直接用 |cos θ| = |u·v| ÷ (|u||v|) 一步求銳角，避免漏掉補角這一步。長度相同時的比較捷徑——三個方向向量等長時，只需比較內積的絕對值即可判定三個夾角是否相等，不必逐一開根號。

正解：對非零複數 z=re^(iθ)，由 z^3=4i z̄ 可得 r^3 e^(3iθ)=4r e^(i(π/2-θ))。比較絕對值得 r^2=4，所以 r=2；比較輻角得 4θ=π/2+2kπ。因此 B 的 |α|=2 正確。若 β=iα，則 β^3=(iα)^3=-iα^3=-i(4iᾱ)=4ᾱ，而 β̄=-iᾱ，故 4iβ̄=4ᾱ，β 也滿足同一方程，故選 B、C。

B：任何非零解的絕對值都由 r^2=4 決定為 2，故入選。

C：乘上 i 後的 β 仍滿足 β^3=4iβ̄，如上式所示，故入選。

A：z=2i 時，z^3=-8i，而 4iz̄=8，兩側不相等。

D：解的輻角為 π/8+kπ/2；換成主輻角後最小者不是選項所列的 π/6。

E：k 在一個完整 2π 範圍內給出 4 個相異輻角，因此非零解不是 3 個。

本題考點：複數的極式（polar form）——乘冪時絕對值乘冪、輻角倍增；共軛複數（complex conjugate）——z̄ 的輻角為 -θ；主輻角（principal argument）——求最小值時要先把所有同餘輻角轉到主值範圍。

正解：已知等比數列首項為10、公比為10，可先寫出a_n=10^n，因此a1=10、a2=100、a3=1000、a4=10000。判定b時，必須把這四項依題目給定的求和式逐項代入，算出b後再核對4<b≤5，故選 C。

A：區間2<b≤3與計算後的b值不符，故不入選。

B：區間3<b≤4與計算後的b值不符，故不入選。

D：區間5<b≤6與計算後的b值不符，故不入選。

E：區間6<b≤7與計算後的b值不符，故不入選。

本題考點：等比數列（geometric sequence）——通項可寫成首項乘以公比的n−1次方；代入化簡（substitution and simplification）——範圍題先列出所有指定項，再代入題定運算式；不等式區間（inequality interval）——計算出b後，逐一核對嚴格與非嚴格端點。