113 年分科測驗數學甲試題與答案

正解：沿 x 軸伸縮 2 倍後，新橢圓在 x 軸的半軸長為 18，所以 2a=18，因此 a=9。原橢圓的兩半軸長為 9 與 6，焦距參數 c=√(9^2-6^2)=√45=3√5，焦點為（±3√5，0）。故選 B。

A：（A）的座標落在 y 軸上；本橢圓的長軸在 x 軸，焦點應在 x 軸上。

C：（C）不僅焦點方向錯誤，數值 6√13 也不是由 9^2-6^2 所得。

D：（D）雖在 x 軸上，但 3√13 不是本橢圓的焦距參數。

E：（E）是原橢圓的頂點座標之一，頂點與焦點不同。

本題考點：座標伸縮（coordinate scaling）——沿某軸伸縮 k 倍時，該軸的半軸長也乘以 k；橢圓焦點（ellipse focus）——長半軸為 a、短半軸為 b 時，以 c^2=a^2-b^2 求焦距參數，焦點位於長軸上。

正解：以下以各次抽獎相互獨立的模型計算；若只知道每次的邊際中獎率而未有獨立性，聯合機率不能直接由這些公式得到。在獨立模型下，中獎機率 p=0.1；等待第一次中獎的抽數用幾何分配，固定抽 n 次至少中一次則用餘事件 1−0.9^n。依此判準，成立的是 A、D，故選 AD。

A：第一次中獎所需抽獎次數的期望值為 1/p=1/0.1=10，因此正確。

D：抽 n 次至少中一次的機率為 1−0.9^n。n=21 時為 1−0.9^21≈0.8906；n=22 時為 1−0.9^22≈0.9015，所以最少需 22 個代幣才能使機率大於 0.9。

B：兩次至少中一次的機率是 1−0.9^2=0.19，不是 0.2。

C：10 次都沒中獎的機率為 0.9^10≈0.3487，大於抽 1 次就中獎的機率 0.1。

E：任一有限的 n 都有 0.9^n 的未中獎機率，因此至少中一次的機率小於 1；n 增加時只會趨近於 1。

本題考點：幾何分配（geometric distribution）——獨立重複試驗中，第一次成功所需次數的期望值為 1/p；餘事件（complement rule）——至少一次成功以 1−全部失敗機率計算；機率趨近（probability limit）——有限次試驗的成功機率可接近 1，但不等於必然發生。

正解：f(x) 為實係數三次多項式，已知的非實根會連同共軛複數一起成根，可設 f(x)=k(x^2+4x+13)(x-r)。除以 (x+2)(x-1) 的餘式為常數 18，所以 f(-2)=18、f(1)=18。代入得 k(-2-r)=2、k(1-r)=1；兩式相減得 -3k=1，故 k=-1/3，再得 r=4。因此 B、C、D 都成立，故選 BCD。

B：因 x=-2 是除式 x+2 的根，餘式定理給 f(-2)=18，敘述正確。

C：三次項係數就是 k=-1/3，為負數，敘述正確。

D：兩個非實根為 -2±3i，唯一的實根是 r=4，且為正實根，敘述正確。

A：實係數只保證已知根的共軛複數也是根；成對的非實根為 -2±3i，而 2+3i 不在其中。

E：f(x)=-(1/3)x^3+x+52/3，其對稱中心是反曲點 (0,52/3)，位於 y 軸上，不在第一象限。

本題考點：共軛複根定理（conjugate root theorem）——實係數多項式有非實根時，其共軛複數也必為根；餘式定理（remainder theorem）——除式的根代入原多項式，所得值等於常數餘式；三次函數對稱中心（cubic symmetry center）——中心在反曲點，需由函數式或二階導數判定。

正解：內積與外積量值共同決定 |u||v| 與夾角。由 |u×v|=√10、u·v=15，可得 |u||v|=√(15^2+10)=√235；同時 tan θ=√10/15。據此可判定 C、D。故選 CD。

C：由算幾不等式，|u|+|v|≥2√(|u||v|)=2×235^(1/4)，此下界大於 2√5，所以選項成立。

D：已知 v 時，向量恆等式 v×(u×v)=|v|^2u-(u·v)v 可改寫為 u=[v×(-1,0,3)+15v]/|v|^2，因此 u 被唯一決定。

A：因 tan θ=√10/15<1，且內積為正表示 θ<π/2，所以 θ<π/4，不是大於 π/4。

B：u×v 必垂直於 u；但（B）(1,0,-1)·(-1,0,3)=-4，不可能是 u。

E：已知 |u|+|v| 與 |u||v|，只能得到兩個長度的無序組合；除非兩長度相等，否則無法唯一指定哪一個是 |v|。

本題考點：內積與外積（dot and cross products）——(u·v)^2+|u×v|^2=|u|^2|v|^2，可同時處理角度與長度；向量垂直性（orthogonality）——外積必垂直於兩個原向量，先做內積檢查可快速排除不可能的候選。

正解：把 z 寫成極式 z=α(cos β+i sin β)，便有 x_n=α^n cos(nβ)、y_n=α^n sin(nβ)。故選 BE。

B：y_3=0 表示 α^3 sin(3β)=0。因 α 非零，sin(3β)=0，所以 3β 為 π 的整數倍，進而 sin(6β)=0，故 y_6=0。

E：α<1 時兩數列都趨近 0；α=1 而 cos(nβ) 收斂時，sin(nβ) 亦收斂；α>1 時實部不可能收斂。因此實部收斂會推出虛部收斂。

A：取 α=1、β=3π/7 時，x_10=cos(2π/7)，而 x_3=cos(9π/7)=-cos(2π/7)，兩者不相等。

C：取 β=π/9、α=2^(1/3)，則 x_3=2cos(π/3)=1，但 x_6=4cos(2π/3)=-2，不是 1。

D：取 β=0、α=2，則每一項 y_n 都是 0 而收斂，卻有 α>1。

本題考點：複數極式（polar form of complex numbers）——z^n 的幅角變為 nβ、模長變為 α^n；三角函數週期性（trigonometric periodicity）——sin(kβ)=0 時，把 kβ 化為 π 的整數倍再推下一項；數列收斂（sequence convergence）——模長小於 1 時冪次趨零，模長大於 1 時發散。

正解：同一套列運算會同時作用於係數欄與常數欄；若兩個系統的係數矩陣相同，應把兩個化簡後的增廣矩陣逐欄比較，再還原要求的方程組。回代時要先由最末列求一個變數，再代回首列求另一個；常數欄不能視為係數欄的一部分。此類題的數值解必須由每一個矩陣元素完整回代，本題數值結論不確定；官方答案格式為 -|7|0，故選 -|7|0。

本題考點：增廣矩陣（augmented matrix）——直線右側的常數欄要隨每一步列運算一起變換，不能只操作係數欄；列等價（row equivalence）——兩個矩陣經相同列運算後仍保有相同的解集合關係，可用於比較不同常數項的系統；回代法（back substitution）——化簡成階梯形後，從最末個非零列開始依序求未知數。

正解：三直線是三個平面兩兩相交而得，公共交點必須同時滿足 E1、E2、E3。由 E1-E2 得 2y=4，所以 y=2；由 E2-E3 得 2z=8，所以 z=4；代回 E2，x-2+4=3，所以 x=1。故選 P=(1,2,4)。

本題考點：三平面交點（intersection of three planes）——先將任兩平面相減消去共同變數，再代回任一平面求剩餘坐標；聯立方程式（simultaneous equations）——每求出一個變數就立即代回檢核，避免符號誤差。

正解：題眼是「兩平面的交線」——交線同時落在兩個平面內，故其方向向量與兩平面的法向量都垂直，可直接取兩法向量的外積當方向向量。

三平面的法向量為 n₁ = (1, 1, 1)、n₂ = (1, −1, 1)、n₃ = (1, −1, −1)。

L₁ = E₂ ∩ E₃，方向 v₁ = n₂ × n₃ = (1, −1, 1) × (1, −1, −1) = ((−1)(−1) − (1)(−1), (1)(1) − (1)(−1), (1)(−1) − (−1)(1)) = (2, 2, 0)。 L₂ = E₃ ∩ E₁，方向 v₂ = n₃ × n₁ = (1, −1, −1) × (1, 1, 1) = ((−1)(1) − (−1)(1), (−1)(1) − (1)(1), (1)(1) − (−1)(1)) = (0, −2, 2)。 L₃ = E₁ ∩ E₂，方向 v₃ = n₁ × n₂ = (1, 1, 1) × (1, −1, 1) = ((1)(1) − (1)(−1), (1)(1) − (1)(1), (1)(−1) − (1)(1)) = (2, 0, −2)。

三個外積皆非零向量，故三平面兩兩不平行，三條交線確實存在且兩兩不平行。

三個方向向量長度相同：|v₁| = |v₂| = |v₃| = √(2² + 2² + 0²) = √8 = 2√2，故 |vᵢ||vⱼ| = 2√2 × 2√2 = 8。

內積： v₁·v₂ = 2×0 + 2×(−2) + 0×2 = −4 v₂·v₃ = 0×2 + (−2)×0 + 2×(−2) = −4 v₃·v₁ = 2×2 + 0×2 + (−2)×0 = 4

夾角： cos∠(v₁, v₂) = −4/8 = −1/2，兩向量夾 120°，故 L₁ 與 L₂ 所夾銳角 α = 180° − 120° = 60°。 cos∠(v₂, v₃) = −4/8 = −1/2，同理 L₂ 與 L₃ 所夾銳角 β = 60°。 cos∠(v₃, v₁) = 4/8 = 1/2，兩向量夾 60°，已是銳角，故 L₃ 與 L₁ 所夾銳角 γ = 60°。

三者皆為 60°，得證。故可作答「L₁、L₂、L₃ 的方向向量分別為 (2, 2, 0)、(0, −2, 2)、(2, 0, −2)，三者長度皆為 2√2，兩兩內積的絕對值皆為 4，故兩兩夾角餘弦的絕對值皆為 4/8 = 1/2，所夾銳角 α = β = γ = 60°」。

本題考點：兩平面交線的方向向量——取兩法向量的外積；外積為零向量即表示兩平面平行或重合、無唯一交線，動手前先確認它非零。直線夾角的求法——用方向向量內積求餘弦，若得負值代表取到的是鈍角，直線夾角取其補角；實務上直接用 |cos θ| = |u·v| ÷ (|u||v|) 一步求銳角，避免漏掉補角這一步。長度相同時的比較捷徑——三個方向向量等長時，只需比較內積的絕對值即可判定三個夾角是否相等，不必逐一開根號。

正解：由 P=(1,2,4) 出發，可取三條邊的方向向量為 (1,1,0)、(0,1,-1)、(1,0,-1)，每個長度為 √2。要使邊長為 6√2，三個相鄰頂點可取 (7,8,4)、(1,8,-2)、(7,2,-2)。設對面 E4 為 x+ay+bz=c，代入三點得到 a=1、b=-1、c=11，所以 E4 為 x+y-z=11。若三條邊同時取相反方向，對稱的另一個正四面體給 x+y-z=-13；題目未限定 E4 位於 P 的哪一側，兩式都成立，故選 x+y-z=11 或 x+y-z=-13。

本題考點：正四面體（regular tetrahedron）——三條由同一頂點出發的邊須等長且兩兩夾角為 60°；平面方程式（plane equation）——將同一平面上的三個不共線點代入 x+ay+bz=c，聯立求 a、b、c。

正解：對 f(x)=x^3-9x^2+15x-4 逐項微分：d(x^3)/dx=3x^2，d(-9x^2)/dx=-18x，d(15x)/dx=15，常數 -4 的導數為 0。因此 f'(x)=3x^2-18x+15，故選 D。

A：x^2-9x+15 沒有將 x^3 與 -9x^2 的係數分別乘上原本的指數。

B：式子仍保留三次項與常數項，並非把每一項的指數降 1 後的結果。

C：3x^3-18x^2+15x 仍為三次式，像是原函數的部分改寫，未正確微分。

E：x^2 的導數前係數應為 3，選項少了係數 3。

本題考點：冪次微分法（power rule）——d(x^n)/dx=nx^(n-1)，係數須一併保留；線性性（linearity of differentiation）——多項式可逐項微分再相加；常數導數（constant rule）——與 x 無關的常數微分後為 0。

正解：題幹要「說明 P 為 Γ 上之一點」就是把 x 坐標代進函數檢查值是否相符；要求切線方程式則觸發「導數即切線斜率」。先驗證：f(1)=1³-9×1²+15×1-4=1-9+15-4=3，恰等於 P(1,3) 的 y 坐標，故 P 在 Γ 上。再求導函數：f'(x)=3x²-18x+15，代入 x=1 得 f'(1)=3-18+15=0，即 Γ 在 P 點的切線斜率為 0。由點斜式 y-3=0×(x-1)，化簡得 y=3。故答案為 L：y=3（過 P 的水平線）。

本題考點：點在圖形上的驗證（point on a curve）——把 x 坐標代入函數，看算出的函數值是否等於該點的 y 坐標，相等才算在圖形上；導數即切線斜率（derivative as slope）——先求 f'(x) 再代入該點的 x，得到的數值就是切線斜率；點斜式（point-slope form）——斜率為 0 時切線退化成水平線 y=該點的 y 坐標，不要誤寫成 x=1。

正解：題幹問「Γ 和 L 所圍成有界區域的面積」，線索是要先解出兩者的交點來定積分上下限，再對兩函數的差取絕對值積分。由第 16 題 L：y=3，解 x³-9x²+15x-4=3，即 x³-9x²+15x-7=0。x=1 代入得 1-9+15-7=0，故 x-1 為因式；除得 x²-8x+7，再分解為 (x-1)(x-7)。因此 x³-9x²+15x-7=(x-1)²(x-7)，交點在 x=1（重根，代表相切）與 x=7。 在 1<x<7 時 (x-1)²>0 而 x-7<0，故 f(x)-3<0，曲線整段位於直線下方，區域只有一塊，面積 =∫₁⁷ [3-f(x)] dx=∫₁⁷ (x-1)²(7-x) dx。令 u=x-1（x 由 1 到 7 對應 u 由 0 到 6），則 7-x=6-u，積分化為 ∫₀⁶ u²(6-u) du=∫₀⁶ (6u²-u³) du=[2u³-u⁴/4]₀⁶=2×216-1296/4=432-324=108。故答案為 108。

本題考點：曲線與直線圍成的面積（area between a curve and a line）——先解交點定上下限，再對「上方函數減下方函數」積分，判別上下關係後才可去絕對值；重根即相切（double root）——交點處出現重根表示相切而非穿越，上下關係在該點不翻轉，區域仍只有一塊；換元積分（substitution）——把 (x-1)² 平移成 u² 可省去展開三次式，上下限要同步換算。