112 年國中教育會考數學試題與答案

正解：負數的三次方要把 -3 連乘 3 次。(-3)³=(-3)×(-3)×(-3)=9×(-3)=-27，所以 A 為正解。

B：-9 是只算了 (-3)×(-3) 的量，少乘 1 個 -3，錯誤。

C：9 是算到兩個負數相乘即停止，錯誤。

D：27 漏掉奇次方保留負號的結果，錯誤。

本題考點：整數次方——a³=a×a×a；負數的奇次方為負，負數的偶次方為正。

正解：題幹為平方差，先把 36 寫成 6²。x²-36=x²-6²=(x+6)(x-6)，所以 x-6 是因式，C 為正解。

A：x-3 對應的平方數是 3²，不是 36，錯誤。

B：x-4 對應的平方數是 4²，不是 36，錯誤。

D：x-9 對應的平方數是 9²，不是 36，錯誤。

本題考點：平方差公式——a²-b²=(a+b)(a-b)；先辨識 36=6²，再寫出兩個一次因式。

正解：題幹問拿走哪一個積木會改變前視圖，應從前方投影逐欄比較最高輪廓。乙位於後排往上第二層，卻是該投影欄的最高關鍵積木；拿走乙後，該欄高度出現缺口，前視圖改變，故 B 為正解。

A：拿走甲後，前方或同欄仍有積木形成相同的最高輪廓，前視圖不變。

C：拿走丙後，該投影欄仍有積木遮擋或墊高，輪廓高度不變。

D：拿走丁後，同欄最高輪廓未降低，前視圖不變。它看起來可能對，是因為容易只看積木是否在外側，卻忽略前視圖只記錄每一欄的最高高度。

本題考點：立體圖形的前視圖——由前向後投影時，每一欄只保留最高輪廓；積木移除判定——逐欄檢查移除後最高高度是否改變，改變才會使前視圖改變。

正解：題幹要化簡根式，先把 135 分解出完全平方因數。135=9×15，所以 √135=√(9×15)=√9×√15=3√15，故 C 為正解。

A：3√5 的平方為 9×5=45，表示把 135 誤拆為 9×5，漏掉因數 3，錯誤。

B：27√5 把 √135 錯當成 27√5；但 √9=3，不是 27，錯誤。

D：9√15 把 √9 錯取為 9；實際上 √9=3，錯誤。

本題考點：根式化簡——先將被開方數分解為完全平方數乘上其餘因數；平方根判定——√9=3，且化簡後根號內不得再含完全平方因數。

正解：題幹要判斷一次函數是否通過某點，將各點共同的 x=−4 代入函數即可。y=−2×(−4)−6=8−6=2，因此圖形通過（−4，2），故 B 為正解。

A：代入所得 y=2，不是 1，故（−4，1）不在圖形上。

C：代入所得 y=2，不是 −1，故（−4，−1）不在圖形上。

D：代入所得 y=2，不是 −2，故（−4，−2）不在圖形上。它看起來可能對，是因為 −2×(−4)容易漏掉負負得正而誤算。

本題考點：一次函數通過點的判定——把點的 x 值代入函數，所得 y 值必須與該點 y 座標相同；符號運算——負數乘負數為正。

正解：三個數都是負數，先把帶分數化成小數統一表示法，再依「數線上越靠右、越接近 0 的負數越大」排序。a=−1，b=−1又3/4=−1.75，c=−1又5/8=−1.625。先比 a 與 c：−1 比 −1.625 更接近 0，故 a>c。再比 c 與 b：−1.625 比 −1.75 更接近 0，故 c>b。串接得 a>c>b，故 A 為正解。

B：a>b>c 把 b=−1.75 排在 c=−1.625 之前，等於認為 −1.75 大於 −1.625；負數的絕對值越大反而越小，方向比反，錯誤。

C：b>c>a 把 b=−1.75 排為最大，但 |b|=1.75 是三者中最大，b 在數線上最靠左，應為最小，錯誤。

D：c>b>a 把 c=−1.625 與 b=−1.75 都排在 a=−1 之前。它看起來對，是因為 1.625 與 1.75 這兩個數值確實都比 1 大，若只比絕對值就會排成這個順序，而三數前面都有負號，比較方向要反過來。

本題考點：帶分數化小數——1又3/4=1.75、1又5/8=1.625，換算後把負號帶回再比較；負數大小的判準——數線上越靠右（越接近 0）的數越大，等價於絕對值越小的負數越大；分段比較再串接——先兩兩比出 a>c 與 c>b，再合成 a>c>b，比三個數時逐對處理可避免方向錯亂。

正解：題幹以直線 x=−5 與 y=−3 判讀 P 點位置，鉛直線看左右、水平線看上下。P 在 L 的左側，所以 a<−5；P 在 M 的上方，所以 b>−3，故 A 為正解。

B：b<−3 表示 P 在 M 的下方，與圖示位置不符。

C：a>−5 表示 P 在 L 的右側，與圖示位置不符。

D：a>−5、b<−3 同時把 P 相對 L、M 的位置判反，錯誤。

本題考點：座標平面的不等式判讀——在 x=k 左側表示 x<k、右側表示 x>k；在 y=k 上方表示 y>k、下方表示 y<k。

正解：題幹給 AD∥BC、∠ADC=140° 與 BD⊥CD；先用平行線同側內角求 ∠DCB，再用直角三角形內角和。因 AD∥BC，∠ADC+∠DCB=180°，故 ∠DCB=180°-140°=40°；又 BD⊥CD，∠BDC=90°。在△BDC 中，∠DBC=180°-90°-40°=50°，故 C 為正解。

A：30° 無法由正確步驟得出。若把 ∠DCB 誤算為 60°（180°-140° 減錯），再代直角三角形 90°-60°，才會得 30°；正確為 ∠DCB=40°、∠DBC=50°。

B：40° 是 ∠DCB 的度數（同側內角 180°-140°），並非題目所求的 ∠DBC；把中間結果當成答案即誤選 40°。

D：60° 同樣無法由正確條件推得。若把 ∠DCB 誤算為 30°，代 90°-30° 便得 60°；依正確值 180°-90°-40°=50°，故 60° 錯誤。

本題考點：平行線同側內角——AD∥BC 時 ∠ADC+∠DCB=180°，先算出 ∠DCB=40°；直角三角形內角和——∠DBC=180°-90°-∠DCB=50°，須分清 ∠DCB 與 ∠DBC 的位置，勿把中間量或誤算值當答案。

正解：題幹同時要求是 18 的倍數與 216 的因數，先用質因數分解限定指數範圍。18=2×3²，216=2³×3³。設 n=2^a×3^b；因 n 是 18 的倍數，a 至少為 1、b 至少為 2；因 n 是 216 的因數，a 至多為 3、b 至多為 3。因此 a 可取 1、2、3，共 3 種，b 可取 2、3，共 2 種，總數為 3×2=6，故 B 為正解。

A：只計 b 可取 2、3 的 2 種，漏掉 a 的 3 種選擇，才會誤得 2。

C：若把 a 錯列為 0、1、2、3、4 共 5 種，再乘以 b 的 2 種，會誤得 5×2=10；其中 a=0 不符合 18 的倍數條件，a=4 又不符合 216 的因數條件。

D：若只算 216 以內共有 216÷18=12 個 18 的倍數，會誤得 12；但其中如 90 並不是 216 的因數，不能全數計入。

本題考點：因數與倍數的質因數分解——倍數條件給各質因數指數下限，因數條件給上限；組合計數——各質因數可取指數種類相乘。

正解：題幹指定用公式解，先辨識係數並計算判別式。3x²-11x-1=0 中，A=3、B=-11、C=-1。B²-4AC=(-11)²-4×3×(-1)=121+12=133。x=[-B±√(B²-4AC)]/(2A)=[11±√133]/6；較大根取加號，a=(11+√133)/6，D 為正解。

A：分子應為 -B=11，且根號內應為 133，錯誤。

B：把 -B 誤寫成 -11；由 B=-11 可得 -B=11，錯誤。

C：109 是把 -4AC 的正值誤作相減，錯誤。它看起來對，是因為容易忽略 C=-1 使 4AC 為負。

本題考點：一元二次方程式公式解——x=[-B±√(B²-4AC)]/(2A)；代入前連同係數正負號寫清楚，再以加號選較大根。

正解：表（二）的中杯為黃色、大杯為紅色，且每毫升含量相同，須同時利用兩項範圍。設每毫升含 r 毫克。中杯黃色：100<360r≤200；大杯紅色：480r>200，所以 r>200/480=5/12。2 杯中杯含量=2×360r=720r。由 r>5/12，720r>720×5/12=300；由 360r≤200，720r≤400。因此攝取量超過 300 毫克、但不超過 400 毫克，故不符合我國建議、符合歐盟建議，D 為正解。

A：忽略大杯紅色所給的下限，誤判 2 杯中杯可不超過 300 毫克，錯誤。

B：忽略中杯黃色的上限 360r≤200，誤判必超過 400 毫克，錯誤。

C：與 720r>300 的結果相反，錯誤。

本題考點：比例範圍——將同一單位量設為 r，分別由表格轉成不等式；倍數後不等式兩端同步乘同一正數，再與門檻比較。

正解：兩盒分屬不同系列，且各款機會相等，兩個「買到喜歡款」的事件相乘。動物系列喜歡 A、C 共 2 款，機率=2/6；汽車系列只喜歡 B 共 1 款，機率=1/5。兩盒皆喜歡的機率=2/6×1/5=2/30=1/15，A 為正解。

B：1/10 未以動物系列 6 款與汽車系列 5 款分別作分母相乘，錯誤。

C：2/15 未將 2/6×1/5 正確約分，錯誤。

D：3/11 是把兩系列的喜歡款數或總款數相加，非獨立事件相乘，錯誤。

本題考點：獨立事件機率——每一事件先以「喜歡款數／該系列總款數」求機率；兩事件同時發生時相乘。

正解：題幹給 BC>AB>BE，可用兩個直角三角形的正切比角大小。在 △ABE，tan∠AEB=AB/BE；在 △ABC，tan∠ACB=AB/BC。因 BC>BE，所以 AB/BE>AB/BC，故 ∠AEB>∠ACB。又 tan∠ACB=AB/BC<1，而 tan∠FDE=BC/AB>1，故 ∠ACB<∠FDE。因此 A 為正解。

B：把 AB/BE 與 AB/BC 的分母大小造成的比值方向比反，錯誤。

C：把 BC>AB 誤判為 AB/BC>BC/AB，錯誤。

D：兩個角度關係都與正切比值相反，錯誤。

本題考點：直角三角形比角——銳角範圍內正切值較大則角較大；分子固定時，分母較小的分數較大。

正解：兩個二次函數都與同一水平線相交，頂點在 x 軸上；每條拋物線的對稱軸會通過該拋物線兩個交點的中點，因此先找出各自的交點配對。設 A=0，則 B=0+10=10，C=10+5=15，D=15+6=21。左拋物線交於 A、C，所以 P 的位置＝(0+15)÷2=7.5；右拋物線交於 B、D，所以 Q 的位置＝(10+21)÷2=15.5。PQ=15.5−7.5=8，故 B 為正解。

A：若 PQ=7，由 P=7.5 會算得 Q=7.5+7=14.5；但 Q 必須是 B、D 的中點，正確位置為 (10+21)÷2=15.5，少算了 1。

C：若 PQ=9，由 P=7.5 會算得 Q=7.5+9=16.5；這比正確中點 15.5 多 1，未正確計算 (10+21)÷2。

D：若 PQ=10，由 P=7.5 會算得 Q=17.5，不是 B、D 的中點 15.5；10 只是 AB 的長度，不能直接當作 PQ。

本題考點：二次函數對稱性——拋物線的對稱軸通過兩個同高交點的中點；圖形判讀——先配對 A、C 與 B、D，再由 15.5−7.5=8 求兩頂點距離。

正解：插入後原來的 1、2、3、4、5 都仍須是新等差數列的項，所以新公差必須整除相鄰整數差 1。首末差=5-1=4。若新數列有 n 項，公差 d=4/(n-1)。由 1=k×d，得 1=k×4/(n-1)，所以 n-1=4k，即 n-1 必為 4 的倍數。D 的 33-1=32=4×8，故可能，D 為正解。

A：11-1=10，不是 4 的倍數，錯誤。

B：15-1=14，不是 4 的倍數，錯誤。

C：30-1=29，不是 4 的倍數，錯誤。

本題考點：等差數列插項——先用 d=（末項-首項）/（項數-1）求新公差；原數列相鄰差須是 d 的整數倍，據此檢驗項數。

正解：題幹同時給出套餐折扣與促銷後總價的關係，要用二元一次方程式聯立消元。設單點一片雞排為 C 元、單點一杯可樂為 K 元、1 份套餐為 S 元。套餐比單點雞排加可樂便宜 40 元，所以 S=C+K−40。促銷時買 1 片雞排送 1 片，共有 2 片雞排，再買 2 杯可樂，總價為 C+2K；它比 2 份套餐便宜 10 元，所以 C+2K=2S−10。代入 S：C+2K=2(C+K−40)−10=2C+2K−80−10=2C+2K−90。兩邊減去 C+2K，得 0=C−90，因此 C=90。單點一片雞排必為 90 元，C 為正解。

A：140 元是套餐價 S 的一種猜測，但由 S=C+K−40=90+K−40=K+50 可知 K 未知，S 不能唯一確定為 140 元，錯誤。

B：120 元同樣是對套餐價 S 的猜測；S=K+50，沒有可樂價格 K 就無法算出 S 必為 120 元，錯誤。

D：若雞排 C=70，代入 0=C−90 會得到 0=−20，與題意聯立結果矛盾，錯誤。

本題考點：二元一次方程式聯立——先把每句價格關係設成方程式，再代入消去共同未知數；促銷總價判讀——「買 1 送 1」表示付 1 片的價格、取得 2 片商品；可否唯一求值——消元後只得到 C=90，而 S 仍隨 K 改變。

正解：外心 O 到三頂點等距，先由方格求外接圓半徑，再算弦長。A 相對 O 為右 1 格、上 3 格，OA²=1²+3²=10，因此半徑為 √10。圓上的格點可為（±1、±3）、（±3、±1）；取 B（-3、1）、C（-1、-3），則 BC²=[-1-(-3)]²+(-3-1)²=2²+(-4)²=4+16=20，BC=√20，D 為正解。

A：4 是部分格點間的水平或垂直距離，不是所取 B、C 的距離，錯誤。

B：5 不符合 BC²=20 的結果，錯誤。

C：√10 把 O 到圓周的半徑誤當成弦 BC，錯誤。

本題考點：外心——外心到三頂點距離相等；方格座標距離平方=橫坐標差²+縱坐標差²，最後再開平方。

正解：離場在 20:00～24:00，10:00 進場後 x 為 10～14 的整數；應分時段計費。08:00～20:00 停 10 小時，費用=10×20=200 元，但該時段最多收 100 元，所以日間收 100 元。夜間停 x-10 小時，費用=5(x-10)；因 x-10≤4，夜間費用不超過 20 元，未達 30 元上限。總費用=100+5(x-10)=100+5x-50=5x+50，B 為正解。

A：常數項 30 未計入日間最高收費 100 元，錯誤。

C：把日間 10 小時以原價 200 元計入，未套用上限，錯誤。

D：日間費用重複計算或常數項合併錯誤，錯誤。

本題考點：分段計費——先依時間切分各時段，分別以「時數×單價」計算並套用各段上限，最後再相加化簡。

正解：AC 為直徑是這一題的解題起點，先用圓周角定理把摺線兩側的角度找出來，才能回推弧 AD。AC 是直徑，故圓周角 ∠ABC = 90°（半圓角）；弧 BC = 35°，同弧所對的圓周角 ∠BAC 是它的一半，∠BAC = 17.5°。將紙片沿 AB 摺疊，等於把 C 點鏡射到新位置 C′，A、B 兩點落在摺線上不動，鏡射前後角度大小不變：∠ABC′ = ∠ABC = 90°，∠BAC′ = ∠BAC = 17.5°。∠ABC′ = 90° 表示 AC′ 是摺疊後那個新圓的直徑，而 AB 恰把 ∠CAC′ 平分，故 ∠CAC′ = 17.5° + 17.5° = 35°。D 落在原本的 AC 上、同時也在新圓上，∠DAC′（即 ∠CAC′）= 35° 是新圓中以直徑 AC′ 為一邊的圓周角，所對的弧 DC′（不含 A 的那一段）= 2 × 35° = 70°。AC′ 是新圓的直徑，A 到 C′ 兩側的弧合計 180°，D 所在那一側的弧 AD = 180° - 70° = 110°，故選 B。

A：105° 若要成立，弧 DC′ 需為 75°，但由 ∠DAC′ = 35° 依圓周角定理只能推出弧 DC′ = 2 × 35° = 70°，並非 75°；把三個 35° 直接相加（35° × 3 = 105°）雖然湊得出這個數字，但那樣做略過了「圓周角是所對弧的一半」這一步轉換，方向不對。

C：120° 同樣對不上上面的計算鏈——它不等於弧 DC′（70°），也不等於 180° 減去弧 DC′ 所得的 110°，沒有一步推導會落在這個數字，可直接排除。

D：145° 其實是弧 AB（劣弧，不含 C 的那一段）的度數，即 180° - 35° = 145°；它是摺線本身所夾的弧，並非題目所求的弧 AD，容易在計算中把摺線本身的弧與所求的弧搞混。

本題考點：圓周角定理（Inscribed Angle Theorem）——同弧所對的圓周角是圓心角（弧度）的一半，直徑所對的圓周角固定為 90°；摺疊即鏡射對稱（reflection），不改變摺線兩端所夾的角度大小，這是把原圖的角度關係複製到新圓上的關鍵；圓被直徑分成兩個 180° 半圓，可用來回推目標弧的度數。

正解：中垂線上的點到線段兩端等距，可先造出兩個等腰三角形。E 在 BD 的中垂線上，所以 EB=ED，△EBD 為等腰三角形，∠EDB=∠B。F 在 CD 的中垂線上，所以 FD=FC，△FDC 為等腰三角形，∠FDC=∠C。∠2=180°-∠EDB-∠FDC=180°-∠B-∠C=∠A=∠4，因此 ∠2=∠4。∠1=∠3 須有 ∠B=∠C，但三內角皆不相等，故 ∠1≠∠3，C 為正解。

A：誤以為兩組角都必相等；∠1、∠3 是否相等取決於 ∠B、∠C，錯誤。

B：漏掉 ∠2=180°-∠B-∠C=∠A=∠4 的必然關係，錯誤。

D：同樣漏掉 ∠2=∠4，錯誤。

本題考點：中垂線性質——在線段中垂線上的點到兩端等距，形成等腰三角形；再以三角形內角和 180° 推導角的相等或不等。

正解：相遇後阿良走的 70 步距離，正是小維相遇前走的 84 步距離，先由此求步距比。設小維每步 a、阿良每步 b，84a=70b，所以 a/b=70/84=5/6。相遇後小維要走的路程，等於阿良相遇前的 60 步路程，即 60b。所需步數=60b÷a=60b÷(5b/6)=60×6/5=72，D 為正解。

A：46 不符合 60b÷(5b/6)的計算結果，錯誤。

B：50 未依步距比換算，錯誤。

C：60 直接把阿良的步數當成小維的步數，忽略兩人的步距不同，錯誤。

本題考點：路程與步距——同一路程可列「步數×步距」相等式；換算另一人的步數時，以路程除以該人的步距。

正解：題幹給正方形面積與 △EBG 面積，且 AD∥BC，應用相似三角形與面積關係。正方形面積為 16，所以邊長 BC=√16=4。設 E 到 BC 的距離為 h，則 △EBC 面積=1/2×BC×h=1/2×4×h=2h。△EBG 與 △EBC 以 B 為頂點、底邊分別在 EC 上，面積比 EG:EC=(h−4):h；因此 6=(h−4)/h×2h=2(h−4)，6=2h−8，2h=14，h=7。又 △EFG∼△EBC，相似比 FG:BC=(h−4):h=(7−4):7=3:7，所以 FG:BC=3:7，故 C 為正解。

A：3:5 是把 h 誤作 5，或未依 6=2(h−4) 算出 h=7，錯誤。

B：3:6 把底邊比的分母誤取為 6，6 是 △EBG 的面積，不是 E 到 BC 的距離，錯誤。

D：3:8 是把 h 或正方形邊長代錯；由 h=7 可得分母必為 7，錯誤。

本題考點：正方形邊長——面積為 16 時邊長為 √16=4；相似三角形——平行線截出的 △EFG 與 △EBC 對應邊成比例；面積關係——先由 6=2(h−4) 求 h=7，再得 FG:BC=3:7。

正解：P 在對角線 BD 上，EF 為矩形 AEPF 的對角線，所以 EF=AP；要使 EF 最小，就是求 A 到直線 BD 的最短距離。先算 BD=√(6²+8²)=√(36+64)=√100=10。△ABD 面積=6×8÷2=24，也可寫成 BD×高÷2=10×高÷2=5高。令兩式相等：24=5高，高=24/5，因此 EF 最小為 24/5，B 為正解。

A：14/5 是面積或高的計算錯誤，錯誤。

C：5 是把對角線中點相關長度誤作垂直最短距離，錯誤。

D：7 不符合由 24=5高 求得的高，錯誤。

本題考點：點到直線最短距離——垂線段最短；同一三角形面積可用「底×高÷2」列式，先由畢氏定理求底，再解出高。

正解：題幹比較各國從進入高齡社會到進入超高齡社會所花時間，應量出折線跨過14%與20%兩條水平線的年份差。韓國約在2018年跨過14%，約在2025年跨過20%，時間差＝2025−2018=7年；四國中這段水平距離最短，因此D為正解。

A：法國從14%到20%的兩個交點年份相距較遠，所花時間超過韓國，錯誤。

B：義大利雖整體65歲以上人口占比較高，但很早跨過14%，到20%歷時較長。它看起來對，是因為其曲線位置高，題幹比較的卻是兩門檻間的年數，錯誤。

C：美國跨過14%與20%的年份差也大於韓國，錯誤。

本題考點：人口老化分級——65歲以上人口占比達14%為高齡社會、達20%為超高齡社會；折線圖判讀——分別找出跨越14%與20%的年份，再以終點年份減起點年份比較所花時間。

正解：題幹問「至少增加」且給定2019年恰達高齡社會最低標準、2025年進入超高齡社會，應以兩個門檻的最小值計算。2019年65歲以上人口＝2300×14％＝322萬人。2025年至少為＝2300×20％＝460萬人。增加人數＝460-322=138萬人，故A為正解。

B：161萬人不是20％與14％兩個門檻所算人口的差值，錯誤。

C：322萬人是2019年65歲以上人口數，不是增加量，錯誤。

D：460萬人是2025年剛達門檻的人口數，不是兩年相差的人數，錯誤。

本題考點：百分率——部分量＝總量×百分率；門檻問題——「至少」先取剛好達標的最小百分率，再以後期人口數減前期人口數。

考點：把文字情境轉成公式代入，並用「反例」判斷命題是否必然成立。

題目給定：兩廠牌各取 30000 人，其中一半（15000 人）施打疫苗，另一半（15000 人）施打安慰劑。疫苗效力 =(1 − p ÷ q)× 100%，p =（施打疫苗後仍感染人數）÷（施打疫苗人數），q =（施打安慰劑後感染人數）÷（施打安慰劑人數）。

(1) A 廠牌：施打疫苗者 15000 人、感染 50 人，安慰劑者 15000 人、感染 500 人。 p = 50 ÷ 15000 = 1/300，q = 500 ÷ 15000 = 1/30。 p ÷ q =(1/300)÷(1/30)= 30/300 = 1/10。 疫苗效力 =(1 − 1/10)× 100% = 90%。 A 廠牌的疫苗效力為 90%。

(2) 不一定。B 廠牌效力高於 90%，表示 p ÷ q < 1/10，即「B 施打疫苗後感染人數 < B 施打安慰劑後感染人數 ÷ 10」。由於 B 的安慰劑感染人數未必是 500，可能更多。 舉反例：設 B 安慰劑感染 1000 人、疫苗感染 90 人，則 p ÷ q = 90 ÷ 1000 = 0.09，效力 =(1 − 0.09)× 100% = 91% > 90%，但 90 人 > 50 人。 故 B 廠牌施打疫苗後仍感染的人數，不一定低於 A 廠牌的 50 人。

(1) 正八邊形可分割成(8−2)＝6 個三角形，內角和為 6×180°＝1080°，每個內角相等，故一個內角為 1080°÷8=135°。

(2) 環套上視圖是邊長 6 的正八邊形，要套在底面半徑 8 公分的圓柱外圍，等於要讓半徑 8 的圓整個塞進正八邊形內。圓會不會凸出，取決於各邊到中心的最短距離，即內切圓（邊心距）半徑 a，而非外接圓半徑。將中心與相鄰兩頂點相連得等腰三角形，圓心角 360°÷8=45°，作邊上的高分成兩個直角三角形：22.5° 的對邊為半邊長 3，邊心距 a 為 67.5° 的對邊。對照圖十八斜邊為 1 的 22.5°−67.5°−90° 三角形（0.38 對 22.5°、0.92 對 67.5°），由 a÷3=0.92÷0.38 得 a≈7.26 公分。因為內切圓半徑約 7.26 公分＜花瓶半徑 8 公分，圓會由各邊凸出，故在不變形下環套無法套住此花瓶。答：（1）135°；（2）不能套入。