114 年國中教育會考數學試題與答案

正解：同底數冪相乘時指數相加、相除時指數相減。7¹⁰×7²÷7⁴＝7^(10+2)÷7⁴＝7^(12−4)＝7⁸，故 C 為正解。

A：7³ 把指數的運算規則用錯，沒有算出 10+2−4=8，錯誤。

B：7⁵ 漏算了部分相乘時應相加的指數，錯誤。

D：7¹⁶ 把÷7⁴誤當成×7⁴，算成 10+2+4，錯誤。

本題考點：指數律——同底數相乘，指數相加；同底數相除，指數相減；應依原算式由左至右整理為 10+2−4。

正解：題幹是多項式減法，減去整個括號時，括號內每一項都要變號。原式＝（5x²−2x）−（4−3x）＝5x²−2x−4+3x。合併同類項：−2x+3x=x，所以結果＝5x²＋x−4，故 B 為正解。

A：5x²−3x 漏掉常數項 −4，且 x 項沒有正確合併，錯誤。

C：5x²−5x+4 把 −（4−3x）錯當成 ＋4−3x；括號內兩項應同時變號。

D：5x²−5x−4 雖保留了 −4，卻把 −（−3x）仍算成 −3x，應為 ＋3x。

本題考點：多項式減法——減去括號時，每一項均須變號；合併同類項——只合併相同文字與相同次方的項，−2x+3x=x。

正解：題幹問擦去後「不是」線對稱圖形，須對每個選項重新找對稱軸。原圖以斜率為1的對角線為對稱軸，①與②、③與④分別互相對應；擦去②、③後，剩餘線段無論以鉛直、水平或對角線翻摺都不能重合，故C為正解。

A：擦去①、②這一對原本相對應的線段，剩餘圖形仍可對原對角線重合，錯誤。

B：擦去①、③後，剩餘圖形可對鉛直線x=1重合，仍是線對稱圖形，錯誤。它看起來不對，是因為原來的對角線配對已改變，但刪去後會產生新的對稱軸。

D：擦去②、④後，剩餘圖形可對水平線y=1重合，仍是線對稱圖形，錯誤。

本題考點：線對稱圖形——沿某一直線翻摺後兩側完全重合才成立；刪去部分線段後須重新檢查是否存在任何對稱軸，不能只沿用原圖的對稱軸。

正解：兩式的y係數互為2與−2，選加減消去法可先求x。37x+2y=81與23x−2y=39相加，得60x=120，x=2。代入37×2+2y=81，得74+2y=81，2y=7，y=3.5。a+2b=2+2×3.5=2+7=9，故B為正解。

A：33不是由a+2b=2+7得到；把係數37誤帶入計算會造成此類錯誤。

C：−3把2y=7的正負或a+2b的加法算錯，與2+7=9不符。

D：−27同樣不符a=2、2b=7；將加號誤作減號才可能得到負值。

本題考點：二元一次聯立方程式——找係數相反的未知數後相加消去；求所需式子時可保留2y=7，直接算a+2b=2+7。

正解：D 在 BC 上使 ∠ADB 與 ∠ADC 合成平角，因此先在已標出兩個角的三角形求 r，再倒推另一個三角形的兩角和。△ADC 中已知兩角為 30° 與 70°，故 r=180−30−70=80。∠ADB 與 ∠ADC 互補，而 ∠ADC=r=80°，故 ∠ADB=180−80=100。△ABD 中 p+q=180−∠ADB=180−100=80。相加得 p+q+r=80+80=160，故 C 為正解。

A：140 要成立，p+q 與 r 之中必有一個是 60；但 △ADC 的內角和給出 r=180−30−70=80，而 p+q=180−100=80，湊不出 140，錯誤。

B：150 要成立則其中一項須為 70——70° 是 △ADC 中已標出的一個內角，不是 r 也不是 p+q，錯誤。它看起來對，是因為 70 是圖上直接標出的度數，容易被當成可以直接參與相加的一項。

D：180 是把 p、q、r 當成同一個三角形的三個內角；p、q 所在的 △ABD 第三個角是 ∠ADB=100°，而 r=∠ADC=80° 位於另一個三角形，三者不同屬一個三角形，錯誤。

本題考點：三角形內角和——同一三角形三內角相加為 180°，由 △ADC 的 30° 與 70° 求得 r=80°；平角互補——D 在 BC 這條直線上，∠ADB+∠ADC=180°，故 ∠ADB=100°；分屬不同三角形的角要分開處理——p、q 在 △ABD 中，其和為 180°−∠ADB=80°，與 r=80° 相加才得 160°。

正解：由（−1，2）先向下再向右，終點必須同時有x>−1、y<2。A為（4，1），4>−1且1<2，故A為正解。

B：（4，3）的x=4>−1，但y=3>2，是向上而非向下，錯誤。

C：（−4，1）的y=1<2，但x=−4<−1，是向左而非向右，錯誤。

D：（−4，3）的x=−4<−1且y=3>2，兩個方向都不符，錯誤。

本題考點：坐標平面移動——向右使x變大、向左使x變小；向上使y變大、向下使y變小，終點須同時符合兩個不等式。

正解：60歲以上包含60～70、70～80、80～90+三組，須連同正負號加總。總變動=−109+112+204=3+204=207（萬人），207為正，表示增加207萬人，故A為正解。

B：425等於112+204再多算數值，沒有正確扣除−109，錯誤。

C：減少109只讀取60～70歲組，漏掉其餘兩組，錯誤。

D：減少271把112與204的正值也誤作減少量；70歲以上兩組應相加為316，錯誤。

本題考點：直方圖讀值——先依年齡範圍完整選取各組；正負數加總——負值要保留負號，總和為正表示增加、為負表示減少。

正解：括號外乘√2，選分配律逐項相乘。2√3×√2=2√6；√6×√2=√12=2√3。因此(2√3+√6)×√2=2√6+2√3=2√3+2√6，故C為正解。

A：4√3把2√6與2√3誤當同類根式合併；根號內的6與3不同，錯誤。

B：6√3同樣把不同根式錯誤合併，與逐項計算的2√3+2√6不符。

D：4√3+2√6將2√3×√2誤多乘一個2；正確值為2√6，錯誤。

本題考點：根式乘法——先用分配律逐項相乘；根號相乘可合為同一根號，並將√12化為2√3；根號內不同者不可合併。

正解：20個停車位相鄰時，兩個相鄰停車位之間才有1個共用下車區，因此下車區數量為20−1=19。停車位總寬=20×200=4000（公分）。下車區總寬=19×150=2850（公分）。總寬=4000+2850=6850（公分），故A為正解。

B：7000=20×200+20×150，把下車區誤算為20個，錯誤。

C：7150=4000+21×150，多算2個下車區，等於兩端外側也各加1個，錯誤。

D：7200不是4000加上19個、20個或21個寬150的下車區所得，錯誤。

本題考點：交替排列計數——n個相鄰物件之間有n−1個間隔；總寬度＝各物件寬度總和＋間隔寬度總和。

正解：題幹要找與其他值不同的式子，先用平方差公式分解，比直接乘開大數有效。A=(106+4)(106−4)×(108+2)(108−2)＝110×102×110×106。B=110×104×108×106；C=110×106×108×104；D=110×108×106×104。B、C、D 的因數都是 104、106、108、110 的重排，乘積相同；A 含有 102 且 110 出現兩次，值不同，故 A 為正解。

B：因數為 110、104、108、106，與 C、D 相同，錯誤。

C：因數為 110、106、108、104，僅是 B、D 的排列不同，錯誤。

D：因數為 110、108、106、104，仍與 B、C 有相同的四個因數，錯誤。

本題考點：平方差公式——a²−b²＝(a+b)(a−b)；比較多個乘積時，先分解並比對因數集合，因數只是順序不同時乘積相等。

正解：兩人都是從各自蓋住的 3 張牌中等機率翻 1 張，先列出 3×3 個等可能組合。阿嘉蓋住 2、4、5，小楊蓋住 1、3、4，總組合數＝3×3=9。阿嘉較大的情形為：2>1，共 1 種；4>1、4>3，共 2 種；5>1、5>3、5>4，共 3 種，合計 1+2+3=6 種。機率＝6÷9=2÷3=2/3，故 B 為正解。

A：1/3 只計到 3 種有利組合，漏掉部分阿嘉數字較大的配對，錯誤。

C：1/9 把 9 種等可能組合誤認為只有 1 種有利組合，錯誤。

D：2/9 只計到 2 種有利組合，漏算 4>1、4>3 或 5 的多種情形，錯誤。

本題考點：等可能樣本空間——兩人各有 3 種選法，總數為 3×3；機率＝有利組合數÷全部等可能組合數。

正解：正三角錐的三個側面要以同長的底邊貼合正三角形底面，因此先辨認側面哪一邊要接到底面甲的邊長 3。乙木片邊長為 3、3、2，其作為等腰側面時底邊是 2，不能貼合底面甲的邊長 3，所以阿林不能組成。丙木片邊長為 4、4、3，其底邊 3 可貼合甲的每一邊，三片丙可繞頂點聚合成正三角錐，所以小博能組成。故 D 為正解。

A：阿林使用的乙木片底邊為 2，無法與甲的邊長 3 密合，錯誤。

B：小博使用的丙木片底邊恰為 3，可以貼合甲，錯誤。

C：將兩人的可否判反，錯誤。它看起來對，是因為乙、丙都是等腰三角形，但是否能組合還要看貼合底面的邊長。

本題考點：正三角錐的面組合——側面與底面共用的邊必須等長；判斷時先找出等腰三角形的底邊，再與底面正三角形的邊長比較。

正解：完全平方式等於正數時有兩個相異實數解，等於負數時在實數範圍無解。甲： (x−4)²＝9，x−4＝±3，所以 x=4+3=7，或 x=4−3=1，有兩個相異解。乙： (x+9)²＝−4，但任何實數平方都大於或等於 0，不可能等於 −4，所以乙無解。故 A 為正解。

B：乙式左邊是平方，不可能得到負數，不能有兩個相異實數解，錯誤。

C：甲式右邊為 9 而非 0，所以開根後有±3，不是兩個相同的解，錯誤。

D：同時誤判甲為重解、乙有解，錯誤。

本題考點：平方方程式——(x−a)²＝k，k>0 時有兩個相異實數解，k=0 時有兩個相同的解，k<0 時無實數解。

正解：早餐組合會同時用掉 1 杯咖啡與 1 個三明治，關鍵是以組合數設未知數後扣除各自庫存。設售出早餐組合 x 組，則單賣咖啡有 120−x 杯，單賣三明治有 100−x 個。收入式為 50(120−x)＋40(100−x)＋70x=8700。展開得 6000−50x+4000−40x+70x=8700；合併得 10000−20x=8700；移項得 −20x=−1300；x=65。早餐組合收入=70×65=4550 元，4550 在 4500～4599 元，故 C 為正解。

A：4300～4399 元不含 4550 元，範圍偏低。

B：4400～4499 元不含 4550 元，範圍仍偏低。

D：4600～4699 元不含 4550 元，範圍偏高。

本題考點：一元一次方程式應用——先設組合數 x，再把被組合用掉的咖啡與三明治分別寫成原數量−x；代數檢核——解出 x 後代回收入式確認總收入，再計算題目所問的組合收入。

正解：本題條件為「｜a｜＋｜b｜＝｜e｜」（官方試題以絕對值表示，轉錄時絕對值符號易脫落）。設相鄰間距為 d（d>0），令 A=a，則 B=a+d、C=a+2d、E=a+4d。因原點在 AE 上，a<0、e>0，故｜a｜＝−a、｜e｜＝a+4d。依 b 的正負分段討論：若 b=a+d≧0，條件成為 −a＋(a+d)＝a+4d，得 a＝−3d，此時 b＝−2d<0，與假設矛盾，捨去。故 b<0，條件成為 −a−(a+d)＝a+4d，−3a=5d，a＝−5d/3。於是 B＝−5d/3+d＝−2d/3，C＝−5d/3+2d=d/3，原點 0 在 B、C 之間，到 B 的距離＝2d/3，到 C 的距離＝d/3，較接近 C，故 B 為正解。

A：原點雖在 BC 上，但到 B 的距離 2d/3 大於到 C 的距離 d/3，錯誤。

C：C=d/3 已在原點右側，所以原點不在 CD 上，錯誤。

D：原點不在 CD 上，也不可能較接近 D，錯誤。

本題考點：數線等距與絕對值——相鄰點可用首點加上間距表示；含絕對值的條件要依各點正負分段討論；先求 B、C 的正負，再判斷原點所在區間與較近端點。

正解：EF//BC 觸發平行線截比例線段，AE:AB=AF:AC；判斷 DF 與 EC 是否平行，則看共頂角 A 的三角形 ADF 與 AEC，須 AD:AE=AF:AC。AF=7、FC=3，故 AC=10，AF:AC=7:10。因 EF//BC，AE:AB=AF:AC=7:10；D 為 AB 中點，AD:AB=1:2=5:10，由圖 E 在 D 右側。故 DE=AE-AD=(7/10-5/10)AB=2/10 AB，EB=AB-AE=3/10 AB，得 DE<EB。再看平行：AD:AE=(5/10):(7/10)=5:7，AF:AC=7:10，因 5×10=50≠7×7=49，兩比不等，DF 與 EC 不平行，故 D 為正解。

A：DE=2/10 AB、EB=3/10 AB，實為 DE<EB，並非 DE>EB；且 AD:AE=5:7≠AF:AC=7:10，DF 與 EC 也不平行，兩處皆錯。

B：DE=2/10 AB、EB=3/10 AB，故 DE<EB，B 主張的 DE>EB 錯誤；DF 與 EC 不平行雖對，整個選項仍錯。

C：DE<EB 正確，但 DF//EC 錯誤——DF//EC 須 AD:AE=AF:AC，而 AD:AE=5:7≠AF:AC=7:10，方向相近不代表平行。

本題考點：平行線截比例線段——EF//BC 時 AE:AB=AF:AC；平行判定——DF//EC 須共頂角兩邊對應比例相等，即 AD:AE=AF:AC，不可誤用 AD:AB 或只憑外觀；中點性質——D 為中點得 AD:AB=1:2。

正解：題幹要比較螺紋深度與間距，先把圖中總鉛垂高度 H 分成各段，再用 30°、60°三角比求水平距。螺紋深度＝H−H/8−H/4=H−H/8−2H/8=5H/8。由圖中的 30°、60°直角三角形換算相鄰牙底的水平間距，可得間距＝2H√3/3。深度÷間距＝(5H/8)÷(2H√3/3)＝(5H/8)×(3/2H√3)＝15/16√3=5√3/16，故 D 為正解。

A：5/8 只算出螺紋深度占總高度的比例，沒有再除以間距，錯誤。

B：5/16 漏掉由特殊角三角比產生的√3，錯誤。

C：5√3/8 的分母少除以 2，錯誤。

本題考點：特殊角三角比——先將鉛垂高度分段，求出螺紋深度；再以 tan30°、tan60°換算水平間距；最後以「深度÷間距」求倍數。

正解：加入第三個正整數 c 後，三數的最大公因數必同時整除 a、b，因此不可能大於 a、b 的最大公因數 11；甲錯誤。三數的最小公倍數必同時是 a、b 的公倍數，因此必為 a、b 最小公倍數 88 的倍數，不可能小於 88；乙也錯誤。兩人皆錯誤對應 B，故 B 為正解。

A：甲說三數最大公因數可能大於 11，違反三數最大公因數必整除 a、b 最大公因數的性質，錯誤。

C：甲其實錯誤；乙主張三數最小公倍數可能小於 88 也錯誤，因此不是甲正確、乙錯誤。

D：乙的判斷錯誤，因加入 c 不會讓原有 a、b 的最小公倍數縮小。

本題考點：最大公因數與最小公倍數——增加一個數時，最大公因數只會變小或不變；最小公倍數只會變大或不變。

正解：題幹每人都要 1 張電影票與 1 杯飲料，且每張票只能選一種優惠，設以優惠二購買的爆米花為 m 盒。電影票費用＝16×320=5120 元，剩餘預算＝6000−5120=880 元。m 盒優惠二各含 1 盒爆米花與 1 杯飲料，費用＝90m；其餘 16−m 杯飲料用優惠一，費用＝35(16−m)。列式：90m+35(16−m)≤880；90m+560−35m≤880；55m≤320；m≤320÷55=5.8…。m 為整數，最多 m=5，故 C 為正解。

A：3 盒未用盡可行預算；代入 m=4 時，費用＝90×4+35×12=360+420=780，仍不超過 880，錯誤。

B：4 盒仍可再增加；代入 m=5 時，費用＝90×5+35×11=450+385=835，仍不超過 880，錯誤。

D：6 盒時，費用＝90×6+35×10=540+350=890，大於 880，超出預算，錯誤。它看起來對，是因為優惠二已含飲料，若沒有把剩餘 10 杯飲料計入便會低估費用。

本題考點：預算最佳化——先扣除固定的電影票費用；優惠二每盒同時包含爆米花與 1 杯飲料；以整數 m 列不等式，取不超過預算的最大整數解。

正解：摺紙後 A、C、D 重疊於 P，摺線會保留對應角度。由 C、D 在原來的直線 CD 上，以及圖中各摺角的對應關係，可得∠3＋∠4=90°。再比較 B、E 兩側的角和：BE>FE>BF，依三角形中長邊對大角的關係，BF 最短所對的 B 側張角較大，因此∠1＋∠2＞∠5＋∠6。兩個判斷都符合 A，故 A 為正解。

B：∠3＋∠4=90°正確，但把 B、E 兩側角和的不等號方向判反，錯誤。

C：∠3＋∠4 應為 90°，且角和關係也不是本項所述，錯誤。

D：∠3＋∠4 應為 90°，又將角和不等號判反，錯誤。

本題考點：摺紙角度——翻摺前後對應角相等，重疊與直線關係可導出互補或直角；三角形中長邊對大角，判讀邊長不等式時要正確對應其對角。

正解：題幹固定觀察平移圖形與 y 軸的交點，因此令平移量為 t，直接代 x=0 追蹤交點高度。原圖向右平移 t 單位後，y＝−[x−(t−7)]²＋12，0≤t≤10。代入 x=0，交點高度 y＝−(t−7)²＋12。t 從 0 增至 7 時，(t−7)²由 49 減至 0，y 由 −37 增至 12，P 向上；t 從 7 增至 10 時，(t−7)²由 0 增至 9，y 由 12 減至 3，P 向下。因此 P 先向上再向下，故 D 為正解。

A：t=0 到 7 時交點高度由 −37 上升至 12，不是持續向下，錯誤。

B：t=7 到 10 時交點高度由 12 降至 3，不是持續向上，錯誤。

C：平方項在 t=7 前遞減、之後遞增，因前面有負號，實際變化方向是先上後下，錯誤。

本題考點：二次函數平移——向右平移 t 後以 x 替換為 x−t；追蹤 y 軸交點時代入 x=0；−(t−7)²＋12 在 t=7 取得最大值。

正解：已知線段分比與重心位置，採座標法可直接算面積比。設 A=(0,0)、B=(7,0)，因 AE：EB=3:4，所以 E=(3,0)。設 C=(cx,cy)，則重心 G=((0+7+cx)÷3,(0+0+cy)÷3)＝((7+cx)÷3,cy÷3)。D、E、G 共線，且 D 在 E 的另一側、DE：EG=3:2，所以 D=E−(3÷2)(G−E)＝((8−cx)÷2,−cy÷2)。△ADG 面積＝1÷2×|xD×yG−yD×xG|＝1÷2×|(8−cx)cy÷6+cy(7+cx)÷6|＝1÷2×15cy÷6=5cy÷4。△ABC 面積＝1÷2×7×cy=7cy÷2。因此 △ADG：△ABC=(5cy÷4)÷(7cy÷2)＝5cy÷4×2÷(7cy)＝5/14，B 為正解。

A：若保留已算出的 △ADG 面積 5cy/4，比例 5/12 會反推出 △ABC 面積＝(5cy/4)÷(5/12)＝3cy=12cy/4；但正確面積是 7cy/2=14cy/4，分母少算了 2cy/4。

C：比例 5/15 會反推出 △ABC 面積＝(5cy/4)÷(5/15)＝15cy/4；這比正確的 14cy/4 多了 cy/4，表示面積除法中的分母取錯。

D：比例 5/21 會反推出 △ABC 面積＝(5cy/4)÷(5/21)＝21cy/4；正確值是 14cy/4，等於把比較基準多算成 3/2 倍。

本題考點：重心與線段分比——先依 AE：EB=3:4 設定 E，再用 DE：EG=3:2 並注意 D、G 分居 E 兩側；座標面積法——分別算出 5cy/4 與 7cy/2，相除後未知數 cy 會約掉。

正解：旋轉保長度也保角度，而同圓中等弦對等弧，因此先由已知弧算出圓周角，再用弧相等定出 B′ 的位置。∠BAC 是圓周角，所對的是弧 BC=54°，故 ∠BAC=54÷2=27°。三段弧合為 360°，弧 AB（不含 C 的那段）=360−54−62=244°；含 C 的另一段弧 AB=360−244=116°。旋轉後 AB′=AB，等弦對等弧，故弧 AB′ 也是 116°；B′ 落在 A 的另一側，故弧 BB′=244−116=128°，旋轉角 ∠BAB′=128÷2=64°。旋轉不改變三角形本身，故 ∠B′AC′=∠BAC=27°。所求 x=∠BAC′=∠BAB′−∠B′AC′=64−27=37，故 D 為正解。

A：27 只是 ∠BAC=54÷2 的結果，也等於旋轉後的 ∠B′AC′，尚未把旋轉角 64° 算進來，錯誤。它看起來對，是因為 27° 確實是圖中真實存在的一個角，只是它不是 AB 與 AC′ 的夾角。

B：31 是把弧 CA=62° 直接除以 2 得到的圓周角，該角所對的是弧 CA，不是題目所求的 x，錯誤。

C：32 恰為旋轉角 64° 的一半；旋轉角本身已是 64°，不需再折半，且還要扣掉 ∠B′AC′=27°，錯誤。

本題考點：圓周角定理——圓周角的度數等於所對弧的一半，故 ∠BAC=54÷2=27°、弧 BB′=128° 對應 ∠BAB′=64°；旋轉的不變量——旋轉保長保角，AB′=AB 且 ∠B′AC′=∠BAC；等弦對等弧——同一圓中相等的弦對應相等的弧，用 AB′=AB 把 B′ 換算成弧 AB′=116°，再由弧 BB′=244−116=128° 求出旋轉角，最後以 x=64−27 得解。

正解：踩踏輕重取決於前齒輪齒數÷後齒輪齒數的齒輪比，比值越大，踩 1 圈帶動後輪越多圈，越費力。A：33÷18=11/6≈1.83；B：33÷24=11/8≈1.38；C：22÷21≈1.05；D：44÷21≈2.10。四者中 D 的比值最大，故 D 為正解。

A：11/6≈1.83，比原組合 33÷21≈1.57 大，確實較費力，但小於 D 的 44÷21≈2.10，錯誤。

B：11/8≈1.38 小於原組合 1.57，較省力，錯誤。

C：22÷21≈1.05 是四者中較小的比值，較省力，錯誤。

本題考點：齒輪比——齒輪比＝前齒輪齒數÷後齒輪齒數；前大後小使比值變大、較費力；比較時把每種組合都化為同一比值。

正解：題幹要找能由最多前、後齒輪組合約分得到的齒輪比，應依題組表格逐一配對。前齒輪有 22、33、44 齒，後齒輪有 14、16、18、21、24、28 齒。11/7 可由 22/14、33/21、44/28 得到，共 3 組，故 B 為正解。

A：11/6 可由 33/18、44/24 得到，共 2 組；22/12 雖也等於 11/6，但表格沒有 12 齒的後齒輪，不能計入。

C：11/8 可由 22/16、33/24 得到，共 2 組；44/32 所需的 32 齒後齒輪不在表格中。

D：11/9 只能由 22/18 得到，共 1 組；所需的 27、36 齒後齒輪都不在表格中。

本題考點：等值比——前後齒數同乘或同除相同非零數，比值不變；判斷組合數時，須逐一檢查題組表格內所有實際前、後齒數配對。

考點：用「調整倍率＝人口占比÷調查比率」與「調整後比率＝調整前比率×調整倍率」兩條定義，配合總計欄列方程組求解。

（1）由定義，60 歲以上組調整倍率＝20%÷40%＝0.5。（同理 18～39 歲組為 40%÷20%＝2、40～59 歲組為 40%÷40%＝1，與表中相符。）

（2）三組調整倍率依序為 2、1、0.5。設 40～59 歲組調整前贊成比率為 a、60 歲以上組為 b。由調整前贊成總計：8%＋a+b=56%，得 a+b=48%……（甲）。由調整後贊成總計：8%×2+a×1+b×0.5=49%，即 a+0.5b=33%……（乙）。（甲）－（乙）：0.5b=15%，故 b=30%，代回得 a=18%。

答：40～59 歲組調整前贊成比率為 18%，60 歲以上組為 30%。

驗算（反對欄）：各組贊成＋反對應等於調查比率，故三組調整前反對為 12%、22%、10%，總計 44%；調整後反對＝12%×2+22%×1+10%×0.5=51%，皆與表中一致，答案無誤。

考點：最小公倍數、奇偶分層與比例判斷。

每層高 5 公分、紙片橫向緊密並排要拼成完整長方形，各層橫向總長須相等。A 層長為 16 的倍數、B 層長為 18 的倍數，故總長須為 16 與 18 的公倍數。16=2⁴、18=2×3²，最小公倍數＝144。

（1）取最小總長 144 公分，第一層為 A 層，個數＝144÷16=9，故第一層最少 9 個 A。

（2）第一層 A 數與（1）相同，故總長固定為 144，每個 A 層含 9 個 A、每個 B 層含 144÷18=8 個 B。奇數層為 A、偶數層為 B，最後一層為 A，故總層數 n 為奇數，A 層有（n+1）／2 層、B 層有（n-1）／2 層。A 總數＝9×（n+1）／2，B 總數＝8×（n-1）／2=4（n-1）。組合包比 4:3，恰好用完須 3×A 總數＝4×B 總數：27（n+1）＝32（n-1），27n+27=32n-32，5n=59，n=11.8。但 n 須為正奇數，11.8 不合，故無法恰好把紙片用完。