115 年學科能力測驗數學A試題與答案

正解：題幹給兩次抽籤的中獎條件，期望值須把每個獎金乘上其發生機率。兩次皆為吉的機率＝1/3×1/3=1/9，貢獻 180×1/9=20 元；兩次皆為祥的機率＝1/9，貢獻 90×1/9=10 元；其餘情形貢獻 0 元。E=20+10+0=30 元，所以 B 正確。

A：20 元只計入兩次皆為吉的期望貢獻，漏掉兩次皆為祥的 10 元。

C：45 元不是 180×1/9+90×1/9 的結果。

D：60 元相當於把中獎機率誤當為 1/3，故錯誤。

E：90 元未將各中獎金額乘上同時抽到兩次的 1/9 機率，故錯誤。

本題考點：離散期望值——E＝Σ（結果×機率）；獨立事件——兩次同一結果的機率為 1/3×1/3=1/9。

正解：本題比較高斯函數值，必須分別代入 x=-20、0、1，對兩個根號各自取不大於該數的最大整數，不能先把根號相加。A：f(-20)=[√119]+[√79]=10+8=18，f(0)=[√99]+[√99]=9+9=18，f(1)=[√98]+[√100]=9+10=19，因此 f(-20)≤f(0)<f(1)，故 A 正確。

B：f(-20)=18、f(1)=19、f(0)=18，18<19 成立，但 19≤18 不成立，B 錯誤。

C：f(1)=19 並不小於 f(-20)=18，第一個不等式已不成立，C 錯誤。

D：f(0)=18 並不小於 f(-20)=18，第一個不等式已不成立，D 錯誤。

E：f(0)=18≤f(1)=19 成立，但 19<f(-20)=18 不成立，E 錯誤。它看起來對，是因為 √100=10 恰為整數，若誤把它取成 9，就會錯把 f(1) 算成 18。

本題考點：高斯函數——[a] 是不大於 a 的最大整數，先分別找出各根號介於哪兩個整數之間再取整；比較函數值判準——逐點算出 f(x) 的確切值後，依數值排列不等式，不可先合併根號再取整。

正解：指數函數將等差數列的固定公差轉成等比數列的固定公比；先利用 c1、c2、c3 的公差 10/3 求 a，再注意所求數列由 10、8、6 遞減。f(c2)／f(c1)=a^(c2-c1)=a^(10/3)=4=2^2。所求公比為 f(8)／f(10)=a^(8-10)=a^(−2)。由 a^(10/3)=2^2，兩邊同取 3/5 次方，得 a^2=[a^(10/3)]^(3/5)=(2^2)^(3/5)=2^(6/5)，因此 a^(−2)=2^(−6/5)。A 正確。

B：2^(−3/5) 是把 a^(10/3)=2^2 的指數換算比例算錯，未得到 a^2=2^(6/5)。

C：2^(3/5) 同時遺漏了 2^2 的指數 2，且符號不符遞減數列的負指數。

D：2^(6/5)=a^2；若把數列順序誤看成 f(6)、f(8)、f(10)，才會得到此值。

E：2^(5/3) 未依 a^(10/3)=2^2 正確換算，亦非 a^(−2)。

本題考點：指數函數與數列——f(x+h)／f(x)=a^h，等差的公差 h 對應等比公比 a^h；指數換算——由 a^(10/3)=2^2 求 a^2 時，兩邊取 3/5 次方；數列方向——公比固定取後項／前項，10→8 的差為 −2。

正解：題幹的關鍵是不同材料組合未必對應不同道具，必須依三類結果的去重規則分類。草藥由 3 種基本材料合成，不論選哪 3 種都為同一種，共 1 種。食物由 2 種基本加 1 種進階材料合成，結果只依進階材料而定，共 10 種。藥水為其餘組合：1 基本加 2 進階有 C（6，1）×C（10，2）＝6×45=270 種；3 進階有 C（10，3）＝10×9×8÷（3×2×1）＝120 種，共 390 種。總數＝1+10+390=401，故 C 正確。

A：256 未依題設的三類合成規則分類計數，故錯誤。

B：370 少於已算出的 390 種藥水，故錯誤。

D：455 並非 1+10+390 的結果。

E：560 把草藥或食物的不同材料組合誤當成不同結果，故錯誤。它看起來對，是因為 C（6，3）與 C（6，2）×10 都是材料組合數，但題目明定會合併為同一道具。

本題考點：分類計數——各類情形互斥時分別計數後相加；組合數——C（n，r）＝n!／［r!（n−r）!］；去重規則——先判定結果是否只由部分材料決定，再計算道具種類。

正解：官方答案為 E；惟依目前題幹逐步演算會得到矛盾，無法推出無窮多解。先由 A[1,0,0]ᵀ＝[-1,0,1]ᵀ，得 Ae₁＝[-1,0,1]ᵀ。又 A[0,0,-1]ᵀ＝[0,0,0]ᵀ，所以 −Ae₃＝0，Ae₃＝0。由 A[-1,1,1]ᵀ＝[1,1,0]ᵀ，得 −Ae₁＋Ae₂＋Ae₃＝[1,1,0]ᵀ；代入後，[1,0,-1]ᵀ＋Ae₂＝[1,1,0]ᵀ，因此 Ae₂＝[0,1,1]ᵀ。令 v＝[v₁,v₂,v₃]ᵀ，則 Av=v₁Ae₁＋v₂Ae₂＋v₃Ae₃＝[-v₁,v₂,v₁＋v₂]ᵀ。代入 Av＝[1,0,1]ᵀ，依序得 −v₁＝1，所以 v₁＝−1；v₂＝0；但第三列要求 v₁＋v₂＝1，而 −1+0＝−1≠1，三式不相容。垂直條件只再給 v₂＝0，不能消除矛盾。若原題目標向量其實是 [1,0,−1]ᵀ，則 v₁＝−1、v₂＝0、v₃ 可為任意實數，才會有無窮多解並符合官方答案 E。

A：若目標向量為可相容的 [1,0,−1]ᵀ，因 Ae₃＝0，v₃ 不受限制，解不會只有 1 個，A 不符官方答案。

B：同理，自由變數 v₃ 可取任意實數，解不會只有 2 個，B 不符官方答案。

C：同理，解不會只有 3 個，C 不符官方答案。

D：依目前題幹的 [1,0,1]ᵀ，三個分量方程式互相矛盾，實際會得到 0 個解，因此 D 才與現有題幹演算相符；這正是題幹與官方答案 E 的衝突所在，不能把 D 當成一般計算失誤的誘答。

本題考點：矩陣線性性質——先由已知向量組合求 Ae₁、Ae₂、Ae₃，再逐列檢查 Av 的相容性；非齊次方程判準——須先確認至少有一解，才能利用 Ae₃＝0 的自由方向推出無窮多解；本題依現有目標向量 [1,0,1]ᵀ 無解，若目標向量為 [1,0,−1]ᵀ 才符合官方答案 E。

正解：題幹要求 C 在直線 y＝－6 上，使三角形 ABC 為等腰三角形；應分別檢查 CA=CB、CA=AB、CB=AB 三種可能，並排除使三點共線（三角形退化）的解。先算 AB：AB＝√[(2－(－1))²＋(－2-2)²]＝√(3²＋(－4)²)＝√25=5。設 C=(x，－6)。①CA=CB 時，(x-2)²＋(－6－(－2))²＝(x+1)²＋(－6-2)²，即 (x-2)²＋16=(x+1)²＋64，展開得 －4x+20=2x+65，－6x=45，x＝－7.5，得 1 點，且此點不與 A、B 共線，成立。②CA=AB=5 時，(x-2)²＋16=25，(x-2)²＝9，x=5 或 x＝－1；但 x=5 恰好落在直線 AB（過 A(2，－2)，斜率－4/3）延伸至 y＝－6 之處，三點共線、三角形退化，須排除；僅 x＝－1 成立，得 1 點。③CB=AB=5 時，(x+1)²＋64=25，(x+1)²＝－39，無實數解。三種情形共得 x＝－7.5 與 x＝－1 兩個相異且不共線的點，故共有 2 個點 C，選項 B 為正解。

A：A 代表 1 個，只計入 CA=CB 所得的 x＝－7.5，漏掉 CA=AB 中仍成立的 x＝－1，A 錯誤。

C：C 代表 3 個，是把 CA=AB 的兩解 x=5、x＝－1 都當成有效點；但 x=5 使 C 與 A、B 三點共線，三角形退化不成立，應予排除，正確點數為 2 而非 3，C 錯誤。

D、E：D、E 分別代表 4 個、5 個；③CB=AB 時 (x+1)²＝－39 無實數解，且扣除共線退化點後實際成立的點僅有 2 個，不可能達到 4 或 5，D、E 錯誤。

本題考點：等腰三角形分類——兩腰未指定時，須逐一檢查 CA=CB、CA=AB、CB=AB；共線排除——每個候選解都要檢查是否與 A、B 共線而使三角形退化，共線點不得計入；兩點距離——以距離平方建立方程可避免根號運算。

正解：題幹同時滿足 2x-y-3>0 與 x+2y+1<0，應先把不等式改寫為 y<2x-3 與 y<(-x-1)/2，再檢驗各象限是否能取到具體點。C：取 P=(-1,-6)，2(-1)-(-6)-3=-2+6-3=1>0，且 -1+2(-6)+1=-12<0，成立，故 C 正確。D：取 P=(3,-3)，2(3)-(-3)-3=6+3-3=6>0，且 3+2(-3)+1=-2<0，成立，故 D 正確。

A：第一象限 x>0、y>0 時，x+2y>0，故 x+2y+1>1，不可能小於 0，A 錯誤。

B：第二象限 x<0、y>0 時，2x-y<0，故 2x-y-3<0，不可能大於 0，B 錯誤。

E：在 x 軸上 y=0，第一式為 2x-3>0，所以 x>3/2；第二式為 x+1<0，所以 x<-1，兩條件無法同時成立，E 錯誤。

本題考點：二元一次不等式——先整理成半平面 y<2x-3、y<(-x-1)/2，再以象限符號或具體點驗證；存在性判準——問「可能位在」某區域時，只要找到一個同時符合的點即可。

正解：本題以矩陣的特徵關係化簡冪次；先直接算 A²，再由 A²=2A+I 推出各元素遞迴。A²=[[2,1],[1,0]][[2,1],[1,0]]=[[5,2],[2,1]]；2A+I=[[4,2],[2,0]]+[[1,0],[0,1]]=[[5,2],[2,1]]。B：A²=2A+I，故 B 正確。E：A 為對稱矩陣，所以 Aⁿ=[[aₙ,bₙ],[bₙ,dₙ]]。A²ⁿ=(Aⁿ)²=[[aₙ²+bₙ²,bₙ(aₙ+dₙ)],[bₙ(aₙ+dₙ),bₙ²+dₙ²]]，因此 a₂ₙ=aₙ²+bₙ²、d₂ₙ=bₙ²+dₙ²；相減得 d₂ₙ-a₂ₙ=(bₙ²+dₙ²)-(aₙ²+bₙ²)=dₙ²-aₙ²，故 E 正確。

A：由 A²=[[5,2],[2,1]]，得 b₂=2、c₂=2，b₂<c₂ 即 2<2 不成立，A 錯誤。

C：A²=2A+I 兩邊同乘 Aⁿ，得 Aⁿ⁺²=2Aⁿ⁺¹+Aⁿ。因此 cₙ₊₂=2cₙ₊₁+cₙ，不是 cₙ₊₁+2cₙ，C 錯誤。

D：[[aₙ,bₙ],[cₙ,dₙ]][[0],[1]]=[[bₙ],[dₙ]]，不是 [[bₙ₊₁],[dₙ₊₁]]，D 錯誤。它看起來對，是因為右乘 [[0],[1]] 會取出第二欄，卻不會使矩陣冪次由 n 自動變成 n+1。

本題考點：矩陣冪的遞迴——先由 A²=2A+I 得 Aⁿ⁺²=2Aⁿ⁺¹+Aⁿ，各對應元素的係數必相同；矩陣乘法——右乘標準基向量 [[0],[1]] 取出第二欄；對稱矩陣——A 對稱則 Aⁿ 亦對稱，可用平方後的對應元素比較。

正解：題幹給 T=50+10（S−μ）/σ，且兩科平均皆為 60、數學標準差為 12、英文標準差為 8；先把各科 T 分數改寫成原始成績 S 的式子。A：英文 S=52 時，T=50+10×（52−60）/8=50+10×（−8）/8=50−10=40，故 A 正確。B：數學 T=50+10×（S−60）/12=50＋（5/6）（S−60）＝50＋（5/6）S−50＝（5/6）S；所以 T−S＝（5/6）S−S＝−S/6≤0，原始成績非負時 T≤S，故 B 正確。D：及格條件為 T≥40。數學：50+10×（S−60）/12≥40，10×（S−60）/12≥−10，（S−60）/12≥−1，S−60≥−12，S≥48。英文：50+10×（S−60）/8≥40，（S−60）/8≥−1，S−60≥−8，S≥52。因 48<52，所以數學及格所需的原始成績較低，D 正確。

C：兩科標準差不同，T 分數平均不只由原始成績平均決定。令乙的數學、英文成績為 84、52，原始平均＝（84+52）/2=68；兩科 T 分數分別為 50+10×（84−60）/12=70、50+10×（52−60）/8=40，T 平均＝（70+40）/2=55。令丙的數學、英文成績為 60、68，原始平均＝（60+68）/2=64；兩科 T 分數分別為 50、60，T 平均＝（50+60）/2=55。乙的原始平均 68 高於丙的 64，兩人的 T 平均卻同為 55，因此 C 錯誤。

E：原始成績數學對英文的迴歸斜率＝r×（12/8）＝1.5r。T 分數的兩科標準差均為 10，所以 T 分數數學對英文的迴歸斜率＝r×（10/10）＝r。兩者相差 1.5 倍；除特殊退化情況外並不相同，E 錯誤。

本題考點：T 分數——代入各科平均與標準差，把 T 化為 S 的一次式；反例建構——比較原始平均與 T 平均時，須讓反例確實滿足前件；不等式門檻——由 T≥40 逐步解回原始成績；迴歸斜率——Y 對 X 的斜率為 r×（Y 的標準差/X 的標準差）。

正解：本題先以內積求夾角，再以向量行列式求面積；已知三角形 ABE 面積為 3，則可由梯形對角線交點的面積關係求出 DC 與 AB 的倍數。A：AB·AD=2×1+（-6）×5=2-30=-28，|AB|=√（2²+（-6）²）=√40，|AD|=√（1²+5²）=√26，因此 cos∠BAD=-28／（√40×√26）=-28／（2√10×√26）=-28／（4√65）=-7√65/65，A 正確。E：設 DC=tAB。△ABD 面積=1/2×|2×5-（-6）×1|=1/2×16=8；又 △ABE 面積=8／|1+t|=3，所以 |1+t|=8/3，取使四邊形成立的 1+t=8/3，得 t=5/3。C=D+tAB=（1,5）+5/3（2,-6）=（1+10/3,5-10）=（13/3,-5）；B=（2,-6），故 BC=√［（13/3-2）²+（-5-（-6））²］=√［（7/3）²+1²］=√（49/9+9/9）=√58/3。因 58<64，所以 √58<8，故 BC<8/3，E 正確。

B：△ABD 面積已算得 8，不是 9，B 錯誤。

C：由 t=5/3 得 AC 的方向向量為 C-A=（13/3,-5），而 BD 的方向向量為 D-B=（-1,11）。設 E=s（13/3,-5）=（2,-6）+u（-1,11），解得 s=3/8，因此 E=3/8（13/3,-5）=（13/8,-15/8），不是（3/2,1/2），C 錯誤。

D：四邊形面積=△ABD 面積×（1+t）=8×（1+5/3）=8×8/3=64/3，不是 65/3，D 錯誤。

本題考點：向量內積——cosθ＝u·v／（|u||v|），先算內積與兩向量長度再約分；向量行列式面積——△ABD 面積＝1/2×|ABₓADᵧ-ABᵧADₓ|；梯形對角線面積判準——設 DC=tAB，利用已知小三角形面積求 t，再代回座標與邊長。

正解：題幹比較餘弦曲線 Γ：y=cos(πx/2) 與直線 Lm：y=mx+1 的交點，先利用 Γ 是偶函數及特殊高度的交點條件。B：若 (a,b) 為 Lm 與 Γ 的交點，則 b=ma+1，且 b=cos(πa/2)。因 cos(π(-a)/2)=cos(πa/2)=b，並且 L−m 在 x=-a 時的值為 (-m)(-a)+1=ma+1=b，所以 (-a,b) 也是 L−m 與 Γ 的交點，B 正確。D：交點在 y=-1 上時，cos(πx/2)=-1。先令 πx/2=(2k+1)π，得 x=2(2k+1)。再代入 -1=mx+1，得 mx=-2，m=-1/(2k+1)，所以 1/m=-(2k+1)，必為奇數，D 正確。

A：x=0 時，Γ 的值為 cos(0)=1，Lm 的值為 m·0+1=1，故 (0,1) 永為交點；0 不是負數，不能說所有交點的 x 坐標皆為負，A 錯誤。

C：先驗證給定點是否在 Γ 上：Γ 在 x=20/3 時為 cos(π×20/3÷2)=cos(10π/3)=cos(4π-2π/3)=-1/2，不等於 1/2，因此無論 m 為何，該點都不在 Γ 上，C 錯誤。

E：取 m=-1，Lm：y=-x+1 與 x 軸交於 (1,0)，而 Γ 在 x=1 時為 cos(π/2)=0，故 (1,0) 是兩圖交點。此時兩圖實際有 3 個交點，為奇數個，E 錯誤。

本題考點：偶函數對稱——cos(πx/2) 在 x 與 -x 的函數值相同，可對應斜率相反的直線；交點判準——先代入驗證點是否同時在兩圖上；cos θ=-1 的解——θ=(2k+1)π，再代入直線求 m。

正解：題幹給 f(x)-g(x)=2x³+2x，先以首項係數寫出兩函數，再用三次函數對稱中心在反曲點的方法求中心。設 f(x)=x³+px²+qx+r。由 g(x)=f(x)-(2x³+2x)，得 g(x)=-x³+px²+(q-2)x+r。對 f，f''(x)=6x+2p=0，得 a₁=-p/3；代入得 b₁=f(-p/3)=2p³/27-pq/3+r。對 g，g''(x)=-6x+2p=0，得 a₂=p/3；代入得 b₂=g(p/3)=2p³/27+p(q-2)/3+r。B：a₁+a₂=-p/3+p/3=0，可唯一確定，故 B 正確。D：若 a₁=a₂，則 -p/3=p/3，兩邊乘以 3 得 -p=p，再加 p 得 0=2p，所以 p=0；此時 a₁=a₂=0，b₁=f(0)=r，b₂=g(0)=r，因此 b₁=b₂，故 D 正確。

A：兩圖交點滿足 f(x)=g(x)，即 2x³+2x=0。提取 2x 得 2x(x²+1)=0；因 x²+1>0，唯一實根為 x=0，所以恰交於 1 點，不是 3 點。

C：b₁+b₂=4p³/27-2p/3+2r，會隨 p、r 改變，不能唯一確定。例如 p=0、r=0 時 b₁+b₂=0；p=0、r=1 時 b₁+b₂=2；p=3、r=6 時 b₁+b₂=4-2+12=14。

E：取 p=3、q=1、r=0。a₁=-3/3=-1，a₂=3/3=1。b₁=2·3³/27-3·1/3+0=2-1=1；b₂=2·3³/27+3·(1-2)/3+0=2-1=1。雖 b₁=b₂=1，但 a₁=-1≠a₂=1，E 錯誤。

本題考點：三次函數對稱中心——對一般式 ax³+bx²+cx+d，先解二階導數 6ax+2b=0 求反曲點的 x 座標，再代回求 y 座標；函數圖形交點——令兩函數相等並解 f(x)-g(x)=0，實根數即交點數；命題判定——要否定「若……則……」，給出前件成立、後件不成立的具體反例。

考點：條件機率（貝氏）。設全校 100 人，學士 25 人、碩士 75 人。學士通過英聽 25×1/5=5 人；碩士通過英聽 75×3/5=45 人，總通過 5+45=50 人。求「通過英聽中具碩士學位」的條件機率 = 45/50 = 9/10。故 13-1 為 9、13-2、13-3 合為 10，答案 9/10。要點：分母是「通過英聽」總人數而非全體，且兩學歷的通過率不同，須分別加權。此為 AI 整理之解題方向，非官方標準答案，須對照官方評分原則。

考點：向量垂直與二次函數最大值。直線 y=bx−1 的方向向量為 (1,b)。向量 (a,b) 與直線垂直，故 (a,b)·(1,b)=a+b²=0，得 a=−b²。則 a+b=−b²+b=−(b−1/2)²+1/4，為開口向下的二次式，在 b=1/2 時取最大值 1/4。故 a+b 的最大可能值為 1/4（14-1=1、14-2=4）。要點：與直線垂直等價於和方向向量內積為 0，別誤用法向量。此為 AI 整理之解題方向，非官方標準答案，須對照官方評分原則。

考點：等差數列、對數與三點共線。三點 (a,log3a)、(b,log4b)、(c,log6c) 共線且 x 座標 a,b,c 等差（公差相等），故 y 值也須等差：2log(4b)=log(3a)+log(6c)，即 (4b)²=18ac，得 8b²=9ac。再由等差 2b=a+c。令 r=b/a，則 c/a=2r−1，代入得 8r²=9(2r−1)，即 8r²−18r+9=0，解得 r=3/2 或 3/4。因 a<b 須 r>1，取 b/a=3/2（15-1=3、15-2=2）。要點：共線＋等距 x ⟺ y 也等差，是本題關鍵橋樑。此為 AI 整理之解題方向，非官方標準答案，須對照官方評分原則。

考點：拋物線頂點、平移與兩點距離。Γ 交 x 軸於 A(−1/2,0)、B(1/2,0)，對稱軸 x=0，頂點 P 在 y=1+2x 上，故 P=(0,1)，得 f(x)=−4x²+1。平移後頂點 Q=(h,1+2h) 仍在直線上，且圖形過 B(1/2,0)：0=−4(1/2−h)²+(1+2h) ⇒ 4h²−6h=0 ⇒ h=0（原圖）或 h=3/2，取 Q=(3/2,4)。PQ=√((3/2)²+3²)=√(45/4)=(3√5)/2（16-1=3、16-2=5、16-3=2）。要點：平移不改變開口與形狀，頂點軌跡受同一直線約束。此為 AI 整理之解題方向，非官方標準答案，須對照官方評分原則。

考點：直角三角形中的角度與正切。設 ∠ACD=θ、∠BCD=2θ，AC=1，則 AB=tan3θ、AD=tanθ、BD=tan3θ−tanθ=sin2θ/(cos3θcosθ)，BC=1/cos3θ。由 BC=2BD 得 cosθ=2sin2θ=4sinθcosθ，故 sinθ=1/4，tanθ=1/√15。再算 tan3θ=11/(3√15)。k=AD/AB=tanθ/tan3θ=(1/√15)÷(11/(3√15))=3/11（17-1=3、17-2=1、17-3=1）。要點：以單位邊長把各線段化為三角函數，倍角條件鎖定 sinθ。此為 AI 整理之解題方向，非官方標準答案，須對照官方評分原則。

正解：題幹問平行四邊形面積，應取兩鄰邊外積的長度。AB×AD＝（−5，5，5），所以面積＝|AB×AD|＝√[(−5)²＋5²＋5²]＝√(25+25+25)＝√75=5√3，故 C 正確。

A：2√5 不等於 √75，故錯誤。

B：5√2 是漏算外積的一個分量後可能得到的值，故錯誤。

D：6√3 不等於 5√3，故錯誤。

E：10√2 並非 √75 的化簡結果；外積長度不需再乘或除以 2。

本題考點：外積幾何意義——平行四邊形面積＝|u×v|；向量長度——（x，y，z）的長度為 √(x²＋y²＋z²)；三角形面積才需將平行四邊形面積除以 2。

考點：平面方程式與法向量。平面 ABCD 含 AB、AD 兩方向，其法向量即 AB×AD=(−5,5,5)，可約簡為 (1,−1,−1)。平面過 B(1,2,0)，代入點法式：1·(x−1)−1·(y−2)−1·(z−0)=0，化簡得 x−y−z+1=0（亦可寫成 −x+y+z−1=0）。要點：法向量直接取自兩邊向量的外積，再用任一已知點定常數。此為 AI 整理之解題方向，非官方標準答案，須對照官方評分原則。

【題組共用題幹（18-20 題）】坐標空間中有平行六面體 PQRS-ABCD。已知 AB×AD =(-5, 5, 5)、AD×AP =(-2, 0, -4)、AP×AB =(6, -10, -8)、|AP| = 6。本題（第 20 題，非選擇題 8 分）求：平行六面體的體積，以及平行六面體上（含邊界）距點 A 的最長距離。

【設定向量】令 b = AB、d = AD、p = AP，平行六面體由此三向量張成，A 為公共頂點。

【第一步：用叉積反推三個邊向量】 關鍵觀察：d 同時垂直於 AB×AD 與 AD×AP（因兩者皆含因子 d），故 d 平行於(AB×AD)×(AD×AP)；同理 p 平行於(AD×AP)×(AP×AB)，b 平行於(AP×AB)×(AB×AD)。 計算方向向量並化簡： ・(AB×AD)×(AD×AP)=(-20, -30, 10)∥（-2, -3, 1），取 d 方向 =(-2, -3, 1)。 ・(AD×AP)×(AP×AB)=(-40, -40, 20)∥（-2, -2, 1），取 p 方向 =(-2, -2, 1)。 ・(AP×AB)×(AB×AD)=(-10, 10, -20)∥（-1, 1, -2），取 b 方向 =(-1, 1, -2)。

設 b = β(-1, 1, -2)、d = δ(-2, -3, 1)、p = π(-2, -2, 1)，代回叉積條件： ・b×d = βδ·[(-1,1,-2)×(-2,-3,1)] = βδ(-5, 5, 5)；對照 AB×AD =(-5, 5, 5)，得 βδ = 1。 ・d×p = δπ·[(-2,-3,1)×(-2,-2,1)] = δπ(-1, 0, -2)；對照 AD×AP =(-2, 0, -4)= 2(-1, 0, -2)，得 δπ = 2。 ・p×b = πβ·[(-2,-2,1)×(-1,1,-2)] = πβ(3, -5, -4)；對照 AP×AB =(6, -10, -8)= 2(3, -5, -4)，得 πβ = 2。 三式相乘：(βδπ)² = 1·2·2 = 4，故 βδπ = ±2。於是 β = βδπ／(δπ) = ±1、δ = βδπ／(πβ) = ±1、π = βδπ／(βδ) = ±2。取正號（叉積已固定三向量的相對方向，正負僅對應整體鏡射，不影響長度與體積）： AB =(-1, 1, -2)、AD =(-2, -3, 1)、AP =(-4, -4, 2)。 驗證：|AP| = √(16+16+4) = √36 = 6（符合）；三個叉積亦逐一吻合，故解正確。

【第二步：求體積】 平行六面體體積 V = |AB·(AD×AP)| = |純量三重積 det[AB, AD, AP]|。 AD×AP =(-2, 0, -4)，AB·(AD×AP) =(-1)(-2)+(1)(0)+(-2)(-4) = 2 + 0 + 8 = 10。 故 V = 10。 （亦可用第 18、19 題結果交叉檢核：底面 ABCD 面積 = |AB×AD| = |(-5,5,5)| = 5√3，AP 在底面法線方向的投影高 h 滿足 V = 底面積×h，10 = 5√3·h，h = 2/√3，與 AP·n̂ 一致。）

【第三步：求平行六面體上距 A 的最長距離】 平行六面體是凸體，凸體上「距某固定點最遠的點」必落在頂點（線段上距離函數為凸函數，極大值在端點取得，逐維推得最遠點在頂點）。以 A 為原點，八個頂點為 i·AB + j·AD + k·AP（i, j, k ∈ {0, 1}）。計算各頂點到 A 之距離平方： ・A：(0,0,0)→0 ・AB：(-1,1,-2)→6 ・AD：(-2,-3,1)→14 ・AP：(-4,-4,2)→36 ・AB+AD：(-3,-2,-1)→14 ・AB+AP：(-5,-3,0)→34 ・AD+AP：(-6,-7,3)→36+49+9 = 94 ・AB+AD+AP（體對角頂點）：(-7,-6,1)→49+36+1 = 86 最大值為 94，出現在頂點 AD + AP =(-6, -7, 3)。 故最長距離 = √94（94 = 2×47，47 為質數，無法再化簡），約 9.695。

【結論】平行六面體體積 V = 10；平行六面體上（含邊界）距點 A 的最長距離為 √94。 值得注意：最長距離並非出現在「體對角線」端點 AB+AD+AP（其距離為 √86），而是出現在 AD+AP 端點（√94 > √86），原因是 AB 與 (AD+AP) 夾鈍角，加上 AB 反而縮短了到 A 的距離，這是本題容易誤判之處。