學科能力測驗數學A歷屆試題

正解：題幹給兩次抽籤的中獎條件，期望值須把每個獎金乘上其發生機率。兩次皆為吉的機率＝1/3×1/3=1/9，貢獻 180×1/9=20 元；兩次皆為祥的機率＝1/9，貢獻 90×1/9=10 元；其餘情形貢獻 0 元。E=20+10+0=30 元，所以 B 正確。

A：20 元只計入兩次皆為吉的期望貢獻，漏掉兩次皆為祥的 10 元。

C：45 元不是 180×1/9+90×1/9 的結果。

D：60 元相當於把中獎機率誤當為 1/3，故錯誤。

E：90 元未將各中獎金額乘上同時抽到兩次的 1/9 機率，故錯誤。

本題考點：離散期望值——E＝Σ（結果×機率）；獨立事件——兩次同一結果的機率為 1/3×1/3=1/9。

正解：題幹給「抽到藍色球」與「抽到 1 號球」互相獨立，應用 P(藍且1號)=P(藍)P(1號)。藍球有 2+3=5 顆，綠球有 4+k 顆，總數為 9+k；1 號球有 2+4=6 顆，藍色且 1 號有 2 顆。代入 2/(9+k)=(5/(9+k))×(6/(9+k))。兩邊乘 (9+k)²，得 2(9+k)=30；18+2k=30；2k=12；k=6，故 E 為正解。

A：k=2 時，總數 11，左邊 P(藍且1號)=2/11，右邊 P(藍)P(1號)=(5/11)×(6/11)=30/121，兩者不等，錯誤。

B：k=3 時，左邊=2/12=1/6，右邊=(5/12)×(6/12)=5/24，不等，錯誤。

C：k=4 時，左邊=2/13，右邊=(5/13)×(6/13)=30/169，不等，錯誤。

D：k=5 時，左邊=2/14=1/7，右邊=(5/14)×(6/14)=15/98，不等，錯誤。

本題考點：獨立事件——兩事件獨立時 P(A∩B)=P(A)P(B)；機率計數——先列總球數、各事件球數與交集球數，再代入方程求未知數。

正解：題幹給定「2 小時後剩一半」且為指數型衰退，應採半衰期模型，而非把時間與剩餘比例作線性對應。設初始劑量為 1，每經過 2 小時乘以 1/2，則服用 t 小時後的殘留比例為 r(t)=(1/2)^(t/2)。B：t=4 時，r(4)=(1/2)^(4/2)=(1/2)²=1/4，與選項相符，故 B 為正解。

A：t=3 時，r(3)=(1/2)^(3/2)=1/(2√2)=√2/4≈0.354，不是 1/3≈0.333，A 錯誤。

C：t=6 時，r(6)=(1/2)^(6/2)=(1/2)³=1/8，不是 1/6，C 錯誤。它看起來對，是因為把「6 小時」誤當成殘留 1/6，將指數衰退錯看成線性衰退。

D：t=8 時，r(8)=(1/2)^(8/2)=(1/2)⁴=1/16，不是 1/8，D 錯誤。

E：t=10 時，r(10)=(1/2)^(10/2)=(1/2)⁵=1/32，不是 1/10，E 錯誤。

本題考點：指數型衰退與半衰期——若每 2 小時剩原來的 1/2，經 t 小時後以 (1/2)^(t/2) 計算；判準式——時間每多 2 小時，殘留量再乘以 1/2，不可把剩餘比例直接寫成 1/t。

正解：連按 3 次平方根鍵，就是依序取 2 次、4 次、8 次方根；因此選擇 8 次方後能回到 2 的選項。設第一次開根後為 N^(1/2)，第二次為 N^(1/4)，第三次為 N^(1/8)。題設顯示 2，所以 N^(1/8)=2。兩邊同取 8 次方，N=2^8=256。D：2^8 符合，故 D 為正解。

A：N=2^3 時，連按 3 次後為 (2^3)^(1/8)=2^(3/8)，不等於 2，A 錯誤。

B：N=2^4 時，連按 3 次後為 (2^4)^(1/8)=2^(4/8)=2^(1/2)，不等於 2，B 錯誤。

C：N=2^6 時，連按 3 次後為 (2^6)^(1/8)=2^(6/8)=2^(3/4)，不等於 2，C 錯誤。

E：N=2^12 時，連按 3 次後為 (2^12)^(1/8)=2^(12/8)=2^(3/2)，不等於 2，E 錯誤。

本題考點：反覆開平方根——每開一次平方根，指數乘以 1/2，連開 3 次即為 1/8 次方；指數反推判準——若 N^(1/8)=2，兩邊取 8 次方得 N=2^8。

正解：題幹先要求不同口味的兩球組合超過 100 種，必須先用組合求最少桶數 n；再因第二問允許同一口味，改用重複組合。不同口味的組合數為 C(n,2)＝n(n−1)／2，條件為 n(n−1)／2>100，所以 n(n−1)＞200。代入 n=14，14×13=182<200，不足；代入 n=15，15×14=210>200，故最少 n=15 桶。任選兩球且可同口味的組合數為 C(15+2−1,2)＝C(16,2)＝16×15/2=120，故 D 為正解。

A：最少 n=15 時，可重複選兩球的組合數已算得 C(16,2)＝16×15/2=120，101≠120；101 不是依組合公式所得，A 錯誤。

B：105=C(15,2)＝15×14/2，只算兩球不同口味的情形；還須加上 15 種同口味情形，105+15=120，B 錯誤。

C：115=105+10，只加了 10 種同口味組合；但 15 種口味各有 1 種同口味組合，應加 15，105+15=120，C 錯誤。

E：225=15²，把兩球的選擇視為有先後順序；題目問組合，草莓、香草與香草、草莓是同一種，不能重複計數，E 錯誤。

本題考點：組合數——不同口味選兩球用 C(n,2)＝n(n−1)／2，先以不等式找最小整數 n；重複組合——n 種中可重複選 2 個用 C(n+1,2)，且組合不計選取順序。