111 年學科能力測驗數學B試題與答案

正解：含 |x| 的不等式須依 x 的正負分段，因為 |x| 在 x≥0 時等於 x，在 x<0 時等於 -x。當 x≥0 時，2|x|+x=2x+x=3x<10，故 x<10/3；此時整數 x=0、1、2、3，共 4 個。當 x<0 時，2|x|+x=2(-x)+x=-x<10，兩邊乘以 -1 不等號反向，得 x>-10；合併 x<0，整數 x=-1、-2、…、-9，共 9 個。總數為 4+9=13 個，因此 A：13 個為正解。

B：若把嚴格不等式 x>-10 誤寫成 x≥-10，就會多納入 x=-10，算成 4+10=14 個；但代入得 2|-10|+(-10)=10，不小於 10，故 B 錯誤。

C：若負數段誤納 x=-10，並把 x<10/3 錯看成可取到 x=4，會列成負數 10 個、非負整數 5 個，共 10+5=15 個；其實 x=-10 與 x=4 代入都不滿足，故 C 錯誤。

D：若把負數段錯列為 -10≤x≤0，共 11 個，又把非負段錯列為 0≤x≤4，共 5 個，還重複計入 x=0，就會得到 11+5=16 個；正確分段應為 -10<x<0 與 0≤x<10/3，故 D 錯誤。

E：當 x≥0 時有 x<10/3，當 x<0 時有 x>-10，解集上下皆有界，所以整數解不可能有無窮多個，E 錯誤。

本題考點：絕對值不等式——以 x≥0、x<0 分段代換 |x|；不等式判準——乘除負數時不等號須反向，最後合併各段的整數解並檢查端點是否滿足。

正解：燈號每 4 次一循環，需先算完整循環時間，再把第 99 至 101 秒換成循環內相對時刻。藍、白、紅、白的持續時間依序為 5、2、6、2 秒，一個循環=5+2+6+2=15 秒。循環內時段為：藍 0 至 5 秒、第一段白 5 至 7 秒、紅 7 至 13 秒、第二段白 13 至 15 秒。　99÷15=6 餘 9，故第 99 秒進入第 7 個循環的第 9 秒；第 99 至 101 秒對應循環內第 9 至 11 秒。因 7≤9 至 11≤13，皆在紅燈時段，故 C 為正解。

A：藍燈只在每循環第 0 至 5 秒；第 9 至 11 秒不在此區間，A 錯誤。

B：白燈在第 5 至 7 秒及第 13 至 15 秒；第 9 至 11 秒均不在其中，B 錯誤。

D：第 9 至 11 秒全落在紅燈，未跨越藍燈或白燈的切換點，D 錯誤。

E：第 9 至 11 秒全落在紅燈，未跨越白燈或紅燈的切換點，E 錯誤。

本題考點：週期問題——先求一個完整循環的總時間，再以除法餘數定位循環內時刻；同一顏色若分成兩段，必須分開列出區間，不能合併計算。

正解：本題要選 3 棟且任兩棟不相鄰，並排除 3 號；先用「排成一列取 k 個不相鄰位置」的公式求總數，再扣除包含 3 號的情況最直接。B：先不管 3 號限制，8 棟中取 3 棟且彼此不相鄰的數目為 C(8−3+1,3)=C(6,3)=20。若選到 3 號，2 號、4 號不能選，剩下從 {1,5,6,7,8} 再選 2 棟；合法組合是（1,5）、（1,6）、（1,7）、（1,8）、（5,7）、（5,8）、（6,8），共 7 種。因此不選 3 號的合法選法為 20−7=13 種，故 B 為正解。直接列舉也可得（1,4,6）、（1,4,7）、（1,4,8）、（1,5,7）、（1,5,8）、（1,6,8）、（2,4,6）、（2,4,7）、（2,4,8）、（2,5,7）、（2,5,8）、（2,6,8）、（4,6,8），合計 13 種。

A：12=13−1，比正確計數少 1；列舉時漏掉 1 組，或誤把 2 號與 4 號視為相鄰而處理不當，都可能造成少算，A 錯誤。

C：20 是未加入「3 號不設基地台」限制時的總數 C(6,3)=20；應再扣除含 3 號的 7 種，20−7=13，C 錯誤。

D：30 大於未限制時的 20 種合法選法；30−20=10，顯示計數時多算 10 種，通常是誤用排列或重複計數，D 錯誤。

E：C(7,3)=7×6×5÷(3×2×1)=35，是去掉 3 號後從其餘 7 棟任取 3 棟的數目，未扣除相鄰限制；35−13=22 種其實含有相鄰大廈，E 錯誤。

本題考點：不相鄰選取計數——n 個排成一列的位置取 k 個彼此不相鄰，可用 C(n−k+1,k)；限制條件處理——先算全部合法情況，再扣除含指定位置的情況，並逐步檢驗相鄰位置是否已排除。

正解：題幹給點 P 與向量 PQ，應以 Q=P+PQ 分別求兩坐標的正負。Q 的橫坐標＝log（1/2）＋log（1/5）＝log［（1/2）×（1/5）］＝log（1/10）＝−1<0。縱坐標＝2^−5−10^−5=1/32−1/100000=0.03125−0.00001=0.03124>0。因此 Q 為（負，正），在第二象限，故 B 正確。

A：第一象限須橫、縱坐標皆正，但 Q 的橫坐標為 −1，故錯誤。

C：第三象限須兩坐標皆負，但 Q 的縱坐標為正，故錯誤。

D：第四象限須橫正縱負，與計算結果不符。

E：Q 的兩坐標皆非 0，不在坐標軸上。

本題考點：向量坐標——終點＝起點＋位移向量；對數運算——log a+log b=log（ab）；象限判定——依橫、縱坐標正負判別。

正解：矩陣 A 的平方可化為單位矩陣倍數，先算 A² 可避免逐次相乘。A²＝[[1×1+1×1，1×1+1×（−1）]，[1×1＋（−1）×1，1×1＋（−1）×（−1）]]＝[[2，0]，[0，2]]＝2I。A⁷＝A×(A²)³＝A×(2I)³＝A×8I=8A。A⁷−3A=8A−3A=5A＝[[5，5]，[5，−5]]，所以 a+b+c+d=5+5+5−5=10，故 E 正確。

A：−8 與矩陣元素和 10 不符。

B：−5 與矩陣元素和 10 不符。

C：5 只相當於未把四個元素全部相加，故錯誤。

D：8 是 A⁷ 的倍數係數，未扣除 3A，故錯誤。

本題考點：矩陣冪——若 A²＝kI，則 A^(2m+1)＝k^mA；矩陣運算——先逐項求 A²，再代入線性組合。

正解：沿經線北行到北極的路徑是大圓上的一段弧，弧長公式 s=rθ 可直接把 7πr/12 換算成圓心角。由 s=rθ 得 θ=s/r=7π/12，換成度數為 105°。北極到某地的角距等於 90° 減去該地緯度（南緯以負值代入），設甲地緯度為 φ，則 90°-φ=105°，得 φ=-15°，即南緯 15°。經度不影響沿經線到北極的弧長，五個選項中緯度為南緯 15° 的只有 C，故 C 為正解。

A：北緯 15° 到北極的角距為 90°-15°=75°=5π/12，弧長為 5πr/12，不等於 7πr/12，A 錯誤。

B：南緯 75° 到北極的角距為 90°-(-75°)=165°=11π/12，弧長為 11πr/12，不等於 7πr/12，B 錯誤。

D：北緯 75° 到北極的角距為 90°-75°=15°=π/12，弧長為 πr/12，不等於 7πr/12，D 錯誤。

E：南緯 30° 到北極的角距為 90°-(-30°)=120°=8π/12，弧長為 8πr/12，與 7πr/12 只差 πr/12，仍不相等，E 錯誤。它看起來對，是因為兩個弧長的數值相當接近，分辨關鍵在角距必須由 90° 減緯度精確算出，不能用鄰近的角度取代。

本題考點：球面弧長——s=rθ，其中 θ 必須換成弧度；餘緯換算——北極至某地的角距等於 90° 減緯度，位於南半球時緯度代負值；經度判讀——同一緯度沿任何一條經線到北極的弧長都相同，經度不是判斷依據。

正解：題幹規定投影前後交比 K 不變；空間四點等距，可設坐標為 1，2，3，4。K＝[(4−1)×(3−2)]／[(3−1)×(4−2)]＝(3×1)／(2×2)＝3/4。E：坐標 1，7，9，10 的 K＝[(10−1)×(9−7)]／[(9−1)×(10−7)]＝(9×2)／(8×3)＝18/24=3/4，故正確。

A：坐標 1，2，4，8 的 K＝[(8−1)×(4−2)]／[(4−1)×(8−2)]＝14/18=7/9，不等於 3/4。

B：坐標 3，4，6，9 的 K＝[(9−3)×(6−4)]／[(6−3)×(9−4)]＝12/15=4/5，不等於 3/4。

C：坐標 1，5，8，9 的 K＝[(9−1)×(8−5)]／[(8−1)×(9−5)]＝24/28=6/7，不等於 3/4。

D：坐標 1，2，4，9 的 K＝[(9−1)×(4−2)]／[(4−1)×(9−2)]＝16/21，不等於 3/4。

本題考點：交比不變性——單點透視前後，依原有順序計算的 K 值相同；交比計算——K=P1P4×P2P3／(P1P3×P2P4)，距離須以同一數線坐標相減求得。

正解：雷射自原點朝 (1,a) 發射，方向向量即為 (1,a)，故射線落在直線 y=ax 上；而擊中圓盤的判準是圓心到該直線的距離不超過半徑 1。A：方向向量 (1,a) 的斜率為 a/1=a，且射線通過原點，故雷射光束確實落在通過原點且斜率為 a 的直線上，A 正確。B：a=3/2 時直線為 y=(3/2)x，代入 x=4 得 y=(3/2)×4=6，直線恰通過圓心 (4,6)，距離為 0<1，必定擊中該靶，B 正確。E：把直線寫成 ax-y=0，圓心 (8,1) 到它的距離為 |8a-1|/√(a²+1)；擊中條件為 |8a-1|/√(a²+1)≤1，平方得 (8a-1)²≤a²+1，即 64a²-16a+1≤a²+1，化簡為 63a²-16a≤0，即 a(63a-16)≤0。因 a>0，得 a≤16/63，E 正確。

C：欲同時擊中圓心 (8,1) 的靶，由 E 得 a≤16/63≈0.254。圓心 (2,2) 的靶其距離條件為 |2a-2|/√(a²+1)≤1，平方得 (2a-2)²≤a²+1，即 4a²-8a+4≤a²+1，化簡為 3a²-8a+3≤0，兩根為 (4-√7)/3 與 (4+√7)/3，故須 a≥(4-√7)/3≈0.451。兩個範圍沒有交集，一道光束無法同時擊中這兩靶，更不可能擊中三靶，C 錯誤。

D：取 a=3/2，光束通過圓心 (4,6)；同時圓心 (2,2) 到直線 3x-2y=0 的距離為 |3×2-2×2|/√(3²+2²)=2/√13≈0.555<1，故同一道光束已擊中兩靶，再發射一道處理圓心 (8,1) 的靶即可，最多兩道就夠，並非至少三道，D 錯誤。它看起來對，是因為三個圓心並不共線，分辨關鍵在靶有半徑 1、且光束擊中後可穿透繼續前進，不必正中圓心。

本題考點：射線方程式——由原點朝 (1,a) 的射線落在 y=ax 上，斜率即為 a；圓與直線相交判準——圓心到直線的距離小於等於半徑即為擊中，削過邊緣為等號的情形；距離不等式解法——平方去絕對值後化為二次不等式，再結合 a>0 的限制取出範圍。

正解：本題逐項檢驗三次函數 f(x)=2x³−3x+1 的圖形性質，關鍵方法是代值、求導數找極值，以及以反曲點判定對稱中心。A：f(1)=2×1³−3×1+1=2−3+1=0，所以圖形通過（1,0），故 A 為正解。

B：f′(x)=6x²−3。令 6x²−3=0，得 x²=1/2，故 x=±1/√2。f(1/√2)=2×1/(2√2)−3×1/√2+1=1/√2−3/√2+1=1−√2≈−0.41；f(−1/√2)=2×［−1/(2√2)］−3×［−1/√2］+1=−1/√2+3/√2+1=1+√2≈2.41。極小值為負、極大值為正，圖形與 x 軸有 3 個交點，不是只有 1 個，B 錯誤。它看起來對，是因為 f(1)=0 容易讓人誤以為（1,0）是唯一交點，卻忽略兩極值異號的判準。

C：f″(x)=12x。令 12x=0，得 x=0；對稱中心是反曲點（0,f(0)）=（0,1），不是（1,0），C 錯誤。

D：在對稱中心（0,1）附近，圖形近似該點切線。f′(0)=6×0²−3=−3，因此切線為 y−1=−3（x−0），即 y=−3x+1，不是 y=3x−3，D 錯誤。

E：平移不改變最高次項係數。f(x) 的三次項係數是 2，y=3x³−6x²+2x 的三次項係數是 3，係數不同，無法只靠平移互得，E 錯誤。

本題考點：三次函數圖形性質——以 f′=0 求極值，兩極值異號可判斷與 x 軸有 3 個交點；對稱中心判準——反曲點由 f″=0 求得，中心附近近似該點切線；平移不變量——平移不改變最高次項係數。

正解：本題對線性調分 y=ax+b 分別以平均數代入，並用標準差隨正倍率縮放的性質判斷；比較個人成績時還要使用原始分數介於 0 至 100 分的條件。A：甲班 y₁≥x₁ 等價於 0.8x₁+20≥x₁，即 20≥0.2x₁，即 x₁≤100；原始考試滿分為 100 分，所以甲班每位同學皆符合，A 正確。B：甲班平均數為 60=0.8x̄₁+20，0.8x̄₁=40，x̄₁=50。乙班平均數為 60=0.75x̄₂+25，0.75x̄₂=35，x̄₂=35/0.75=46.7，故甲班原始平均分數較高，B 正確。D：若 y₁>y₂，則 0.8x₁+20>0.75x₂+25，整理得 0.8x₁-0.75x₂>5。若反設 x₁≤x₂，則因 x₂≤100，有 0.8x₁-0.75x₂≤0.8x₂-0.75x₂=0.05x₂≤0.05×100=5，與大於 5 矛盾；故必有 x₁>x₂，D 正確。

C：標準差隨倍率縮放。甲班 16=0.8σₓ₁，σₓ₁=16/0.8=20；乙班 15=0.75σₓ₂，σₓ₂=15/0.75=20。兩班原始標準差相等，不是甲班較高。

E：甲班調整後不及格 y₁<60 對應 0.8x₁+20<60，再得 x₁<50；乙班 y₂<60 對應 0.75x₂+25<60，再得 x₂<46.7。兩班原始不及格門檻不同，且分布未知，調整後不及格人數的比較不能必然推出原始不及格人數的比較。它看起來對，是因為兩班都以 60 分作調整後門檻，但換回原始分數後門檻已不同。

本題考點：線性調分——平均數代入 y=ax+b 逐步反解，正倍率 a 使標準差變為 a 倍；不等式比較——比較跨班個人成績時，須連同原始分數 0～100 的範圍檢驗；門檻轉換——調整後分數門檻要各自反解回原始分數，不可直接比較人數。

正解：題幹要求判斷對所有符合 v·OA>0、v·OB>0 的 v，哪些內積必為負，因此不能只看象限，須先用 OA、OB 的垂線畫出兩個正內積半平面的交集，得到 v 的可行角域。再取其反向對偶角域：若向量 u 可寫成 u=-αOA-βOB，其中 α、β≥0 且不全為 0，則 v·u=-α(v·OA)-β(v·OB)<0。由圖中各射線與兩條邊界的位置可見，OD、OE 位於由 -OA、-OB 所夾的反向對偶角域內。B：OD=-αOA-βOB，代入得 v·OD=-α(v·OA)-β(v·OB)<0。C：OE=-γOA-δOB，代入得 v·OE=-γ(v·OA)-δ(v·OB)<0。因此 B、C 正確。

A：OC 位於反向對偶角域的 -OA 邊界外。取位於可行角域內、任意靠近 OA 垂線邊界的 v，依圖可使 v·OC≥0，所以不一定小於 0，A 錯誤。

D：OF 位於反向對偶角域的 -OB 邊界外。取位於可行角域內、任意靠近 OB 垂線邊界的 v，依圖可使 v·OF≥0，所以不一定小於 0，D 錯誤。

E：由圖可取 v=OA；因 OA·OA>0，且 OA 與 OB 的夾角為銳角，所以 OA·OB>0，此 v 符合兩個條件。OA 與 OG 的夾角亦為銳角，故 v·OG=OA·OG>0，並非一定小於 0，E 錯誤。

本題考點：向量內積符號——v·u<0 等價於兩向量夾角為鈍角；全稱判準——先由 v·OA>0、v·OB>0 取兩個半平面的交集，再檢查待測向量是否落在由 -OA、-OB 張成的反向對偶角域，不能只憑象限判斷。

正解：關鍵在把各選項中代換掉原變數的那個一次式整個設為原方程式的根 t，再反解 x 的範圍。原方程式 ax²+bx+c=0 的兩根 t 都滿足 1<t<3，而各選項只是把原式中的變數換成一個 x 的一次式，因此該一次式的值必落在 1 和 3 之間。C：令 2x-7=t，得 x=(t+7)/2；由 1<t<3 兩邊加 7 得 8<t+7<10，再除以 2 得 4<x<5，兩根必定都落在 4 和 5 之間，C 正確。E：令 3x-11=t，得 x=(t+11)/3；由 1<t<3 得 12<t+11<14，再除以 3 得 4<x<14/3；因 14/3<5，故兩根同樣必定都落在 4 和 5 之間，E 正確。

A：令 x-2=t，得 x=t+2；由 1<t<3 得 3<x<5，區間左半落在 4 以下，無法保證兩根都大於 4，A 錯誤。它看起來對，是因為區間右端恰好是 5，分辨關鍵在左端 3 並未進到 4 以內。

B：令 x+2=t，得 x=t-2；由 1<t<3 得 -1<x<1，整段都不在 4 和 5 之間，B 錯誤。

D：令 (x+7)/2=t，得 x=2t-7；由 1<t<3 得 2<2t<6，再減 7 得 -5<x<-1，同樣不在 4 和 5 之間，D 錯誤。

本題考點：代換後根的範圍——把代換式整個設為原根 t，再反解出 x 的範圍；不等式運算——兩邊同加減一數與同除以正數皆不改變不等號方向；區間包含判準——所得 x 區間必須完全含於 (4,5) 之內，才能保證兩根都符合要求。

考點為指數律與對數求值（選填）。由 2 log y=1 得 log y²=1，故 y²=10。代入 x^(1/3)·y²=1，得 x^(1/3)=1/y²，惟須使結果為整數，正確讀題為 x^(1/3)=y²=10，故 x=10³=1000。於是 (x-y²)/10=(1000-10)/10=990/10=99，即 13-1 填 9、13-2 填 9。陷阱：log 預設以 10 為底，2 log y=1 應化為 log y²=1 而非 y=1；又 x 的指數為 1/3，須開立方還原 x，勿與 y² 混淆。

考點為餘弦定理與向量內積（選填）。圓半徑 7，故 |OA|=|OB|=7，弦 |AB|=8。設 ∠AOB=θ，內積 OA·OB=|OA||OB|cos θ=49 cos θ。由餘弦定理 |AB|²=|OA|²+|OB|²-2|OA||OB|cos θ，即 64=49+49-2·49·cos θ=98-98 cos θ，解得 cos θ=34/98=17/49。故 OA·OB=49·(17/49)=17，即 14-1 填 1、14-2 填 7。陷阱：須用 OA、OB 為等長半徑（皆 7），且 |AB| 是弦長非直徑；內積展開後 49 恰約分，答案為整數 17。

考點為條件機率與貝氏定理（選填）。設「被找到」P(找)=0.7、「沒找到」P(沒)=0.3。被找到者有 60% 裝傳送器，P(裝|找)=0.6；沒找到者 90% 未裝，故 P(裝|沒)=0.1。聯合機率 P(找∩裝)=0.7×0.6=0.42，P(沒∩裝)=0.3×0.1=0.03，全機率 P(裝)=0.42+0.03=0.45。所求 P(找|裝)=0.42/0.45=42/45=14/15，即 15-1、15-2 填 1、4，15-3、15-4 填 1、5。陷阱：題目給「未裝 90%」須先換算成裝設 10% 再用；勿直接拿 0.9。

考點為組合機率與餘事件（選填）。設藍 b、綠 g、黃球數，共 10 顆。皆藍機率 C(b,2)/C(10,2)=C(b,2)/45=1/15，得 C(b,2)=3，故 b=3；皆綠 C(g,2)/45=2/9，得 C(g,2)=10，故 g=5；黃=10-3-5=2。兩球同色機率=[C(3,2)+C(5,2)+C(2,2)]/45=(3+10+1)/45=14/45。相異顏色為餘事件，機率=1-14/45=31/45，即 16-1、16-2 填 3、1，16-3、16-4 填 4、5。陷阱：先由兩條件反推各色球數，再用「1 減同色」較快；31/45 已為最簡分數。

考點為排列的補集計數（選填）。老師固定正中間，其餘 6 位（3 女 3 男）排兩側共 6 個位置，全部 6!=720 種。扣除兩種違規：①不愉快的一女一男相鄰，相鄰位置對為左 (1,2)(2,3)、右 (5,6)(6,7) 共 4 組，兩人可互換故 4×2=8，其餘 4 人 4! 排，得 8×4!=192；②三位男生全在同側，左或右各 3!×3!，共 2×3!×3!=72。故合法數=720-192-72=456，即 17-1、17-2、17-3 填 4、5、6。陷阱：兩違規集合互斥（相鄰者同側但仍含女生，不會三男同側），可直接相減不重複扣。

正解：題幹給 18°，應選用度與弧度的換算公式 180°=π 弳。18°=18·(π/180)=18π/180=π/10，因此 D 為正解。

A：π/36 對應 180°÷36=5°，不是 18°，錯誤。

B：π/18 對應 10°，是把 18 與 180 約分時算錯，錯誤。

C：π/20 對應 9°，不是 18°，錯誤。

E：π/8 對應 22.5°，不是 18°，錯誤。它看起來可能選 B，是因為誤把 18°直接寫成 π/18，忽略度轉弧度必須乘 π/180。

本題考點：角度與弧度換算——度數乘 π/180 可換為弧度；約分檢查——18π/180 先同除以 18，得到 π/10。

此為 AI 整理之解題方向，非官方標準答案，須對照官方評分原則。參考方向：傾斜度可用 tan θ=偏移距離/塔高 比較（角度大小與此比值同向）。虎丘塔 tan θ₁=2.3/48≈0.0479、護珠塔 tan θ₂=2.3/19≈0.1211、比薩斜塔 tan θ₃=4/57≈0.0702。比值大則角大，故 tan θ₂>tan θ₃>tan θ₁，得 θ₂>θ₃>θ₁，即 θ₁<θ₃<θ₂。關鍵：θ₁、θ₂ 偏移皆 2.3，塔較矮（19<48）者比值較大故較斜；θ₃ 需實際計算比值方能定序。

此為 AI 整理之解題方向，非官方標準答案，須對照官方評分原則。參考方向：設塔高 h，傾斜時塔頂偏移距離=h sin θ、塔頂到地面距離=h cos θ。由 sin α=1/5、sin β=7/25，偏移相差 |h sin β-h sin α|=h(7/25-1/5)=h·(2/25)=20，解得 h=250。再求 cos：cos α=√(1-1/25)=2√6/5、cos β=√(1-49/625)=24/25。塔頂到地面距離相差=h cos α-h cos β=250(2√6/5-24/25)=100√6-240（公尺）。關鍵：sin β=7/25 對應 7-24-25 商高數，cos β=24/25 為整值。