112 年學科能力測驗數學B試題與答案

正解：用電量 y 與轉速 x 的三次方成正比，先設 y=kx³，其中 k>0。轉速只能取 x≥0；當 x>0 時，y'=3kx²＞0、y''=6kx>0，所以圖形通過原點，且在正半軸持續遞增、凹向上。官方答案為 A；惟題幹只能推出 y=kx³，不能推出圖形必通過 (1,1)，因為代入 x=1 得 y=k，只有 k=1 時才通過 (1,1)。A 所示曲線的遞增且凹向上形態最符合上述判準。

B：遞增直線可寫成 y=kx，其斜率固定為 k；但三次正比的斜率是 y'=3kx²，會隨 x 增大，不符。

C：上凸遞增代表 x>0 時二階導數小於 0；然而 y=kx³ 的 y''=6kx>0，正負相反。

D：先增後減再增表示中途有區間滿足 y'＜0；但 y'=3kx²≥0，且 x>0 時 y'＞0，不會下降。

E：先升至峰值後遞減，表示峰值後 y'＜0，並趨近 x 軸；但 y'=3kx²＞0，且 x→∞ 時 y=kx³→∞，兩項皆不符。

本題考點：三次正比函數——先寫成 y=kx³(k>0)，以 y'=3kx² 與 y''=6kx 判斷正半軸遞增且凹向上；函數圖形判準——比例常數 k 決定尺度，不能由「成正比」逕自認定 k=1。

正解：題幹給矩陣乘積，左乘矩陣會交換兩列，右乘對角矩陣會縮放各欄，因此先完成乘法，再逐格比對。令 M=[[a,b],[c,d]]。先算 [[0,1],[1,0]]M=[[c,d],[a,b]]；再算 [[c,d],[a,b]][[1,0],[0,-2]]=[[c,-2d],[a,-2b]]。與 [[3,-4],[-9,-7]] 比對，得 c=3、-2d=-4，所以 d=2；a=-9；-2b=-7，所以 b=7/2。代入 c-2b=3-2×(7/2)=3-7=-4，選 B。

A：若 c-2b=-11，在 c=3 下會有 3-2b=-11，解得 b=7；但矩陣比對給的是 b=7/2，數值不合，A 錯誤。

C：若 c-2b=1，在 c=3 下會有 3-2b=1，解得 b=1；但 b=7/2，數值不合，C 錯誤。

D：若把 -2b=-7 除以 -2 時誤留負號，會得 b=-7/2，再算 3-2×(-7/2)=3+7=10；正確應為 b=7/2，D 錯誤。

E：若 c-2b=11，在 c=3 下會有 3-2b=11，解得 b=-4；但 b=7/2，數值不合，E 錯誤。

本題考點：矩陣乘法——左乘 [[0,1],[1,0]] 會交換矩陣兩列，右乘對角矩陣 [[1,0],[0,-2]] 會將第二欄乘以 -2；分量比對——乘積矩陣相等時逐格解出未知數，再代入目標式驗算。

正解：甲樓頂看乙樓頂的俯角為 22°，繩索與水平線的夾角也是 22°；甲高於乙只說明此角為俯角，角度大小決定的是斜邊與水平邊的比值。水平距離 150 是直角三角形的鄰邊，繩索是斜邊，所以選用餘弦。cos 22°＝150／繩長；cos 22°約為 0.927；繩長＝150/0.927≈161.8=150/cos 22°，故 D 為正解。

A：150 是水平鄰邊，不是斜邊；因為 cos 22°＜1，繩長＝150/cos 22°≈161.8>150，所以繩長不可能是 150，A 錯誤。

B：150sin 22° 是以斜邊 150 計算對邊的形式，但 150 實為鄰邊；sin 22°約為 0.375，150sin 22°約為 56.3，甚至小於水平距離，B 錯誤。

C：150cos 22°同樣把 150 當成斜邊；cos 22°約為 0.927，150cos 22°約為 139.1，小於 150，不可能是斜邊長，C 錯誤。它看起來對，是因為餘弦確實與鄰邊有關，但本題已知的是鄰邊，應除以 cos 22°，不能乘以 cos 22°。

E：150sin 22°對應的關係是對邊＝斜邊×sin 22°；本題已知鄰邊而非對邊，且 150/sin 22°約為 400.3，並非由圖形關係求得，E 錯誤。

本題考點：俯角與直角三角形——俯角等於視線與水平線的夾角，先辨認水平距離為鄰邊、繩索為斜邊；三角比判準——已知鄰邊與斜邊時用 cosθ＝鄰邊／斜邊，再解出未知斜邊。

正解：題幹關鍵是「成績較高的前 15 名」各加 5 分，必先用百分位數定位各成績所在名次，再判斷是否在第 15 至 29 名。29 筆成績由小到大排列，第 P 百分位數位置為 ⌈29P/100⌉。第 25 百分位：⌈29×25/100⌉=⌈7.25⌉=第 8 名，a=41。第 50 百分位：⌈29×50/100⌉=⌈14.5⌉=第 15 名，b=60+5=65。第 75 百分位：⌈29×75/100⌉=⌈21.75⌉=第 22 名，c=74+5=79。第 95 百分位：⌈29×95/100⌉=⌈27.55⌉=第 28 名，d=92+5=97。因此 (a,b,c,d)=(41,65,79,97)，C 為正解。

A：把第 15、22、28 名都當成未加分，錯在忽略高分前 15 名正是第 15 至 29 名。

B：第 28 名屬加分區，d 應為 92+5=97，不是 92。

D：第 8 名不在加分區，a 應為 41，不是 41+5=46。

E：同樣誤把第 8 名列入高分前 15 名，a 不應加 5。它看起來對，是因為容易把「前 15 名」誤解成由小到大排列的前 15 筆。

本題考點：百分位數定位——n 筆資料的第 P 百分位先算 ⌈nP/100⌉；名次變動判斷——先確認該位置是否落在受調整的名次區間，再代入原分數加減。

正解：本題求 P（抽到 7 號球｜給定條件），因 1 至 100 號球等可能，且 7 號球都落在各選項條件中，所以選用條件機率＝條件內有利個數／條件內總個數；分子都為 1，只要比較各條件集合大小。E：小於 10 的球為 1、2、3、4、5、6、7、8、9，共 9 個，因此 P（7｜小於 10）＝1/9。

A：奇數為 1、3、5、⋯、99，共 50 個，且 7 是奇數，所以 P（7｜奇數）＝1/50。1/50<1/9，A 錯誤。

B：1 至 100 的質數共有 25 個，7 為其中之一，所以 P（7｜質數）＝1/25。1/25<1/9，B 錯誤。

C：1 至 100 的 7 倍數為 7、14、21、⋯、98，共 100÷7 取整數部分＝14 個，所以 P（7|7 的倍數）＝1/14。1/14<1/9，C 錯誤。

D：1 至 100 的 5 倍數有 5、10、15、⋯、100，共 100÷5=20 個；不是 5 倍數的球有 100-20=80 個，故 P（7｜不是 5 的倍數）＝1/80。1/80<1/9，D 錯誤。

本題考點：等可能下的條件機率——P（A|S）＝S 中屬於 A 的個數／S 的個數；固定有利事件判準——當 7 都符合各條件時，分子皆為 1，條件集合愈小，條件機率愈大。

正解：本題先利用「誤算 g(x)÷f(x) 的餘式為一次式」找出係數關係，再以首項相除求正確 f(x)÷g(x) 餘式的 x² 係數。g(x)÷f(x) 時，首項商為 a，所以 g(x)-a f(x)=(b-a²)x²+(c-ab)x+(d-ac)。已知其餘式為 -3x-17，沒有 x² 項，故 b-a²=0，得到 b=a²。正確計算 f(x)÷g(x) 時，首項商為 1/a；f(x)-(1/a)g(x) 的 x² 係數為 a-b/a。代入 b=a²，得 p=a-a²/a=a-a=0。因此 C：0 為正解。

A：-3 是誤算所得餘式 -3x-17 的 x 係數，不是正確餘式的 x² 係數 p。

B：-1 並非由 b=a² 代入 a-b/a 所得的值。

D：2 並非由 a-a²/a 所得；此式中 a²/a=a，所以結果必為 0。

E：3 不能由題設推得；誤算餘式中的 -3 只對應 x 項係數。它看起來對，是因為 -3x-17 中出現 3，但題目問的是正確餘式的 x² 係數。

本題考點：多項式除法餘式——先以首項相除寫出相減後的餘式；餘式次數低於除式次數，已知為一次式時 x² 係數必為 0；係數判定——將 b=a² 代入 p=a-b/a，逐步化簡得 p=0。

正解：本題以圓錐曲線的截面判別為方法；光錐發散夾角為 60°，半頂角 α＝60°÷2=30°，再由牆面截得拋物線鎖定光軸方向。牆面為鉛直平面，既然其截痕為拋物線，牆面與光軸的夾角等於 α＝30°，亦即牆面平行於一條母線；因此光軸自水平方向向下傾斜 60°。地板是水平面，地板與光軸的夾角 β＝90°−30°＝60°。因 β＝60°＞α＝30°，地板斜切整個圓錐，截痕是橢圓；又光軸與地板並不垂直，橢圓不是圓，故 D 為正解。

A：兩相交直線是截平面通過圓錐頂點的退化情形；地板只斜切光錐、不通過頂點，A 錯誤。

B：圓形要求截平面垂直於光軸；本題地板與光軸夾角為 60°，不是 90°，B 錯誤。

C：拋物線要求截平面與光軸夾角 β＝α＝30°；地板的 β＝60°，C 錯誤。

E：雙曲線要求 β＜α，即截面比母線更陡並切到雙錐兩葉；本題 60°＞30°，E 錯誤。它看起來對，是因為若誤把光軸當作落在地板內，會得 β＝0°而誤判雙曲線；題幹的牆面拋物線正是用來排除這個誤讀。

本題考點：圓錐曲線截面——半頂角 α 與截平面、軸夾角 β 比較，β＞α 為橢圓、β＝α 為拋物線、β＜α 為雙曲線；圓的判準——截平面必須垂直於圓錐軸，否則橢圓長短軸不等。

正解：廣告依 A、B 交替，每段長 T 分鐘；從 A 剛開始到 B 剛開始，經過的廣告段數必須是奇數。因此 30=(2k+1)T，其中 2k+1 為正奇數。B：T=10 時，30÷10=3，3 是奇數，30=3T，30 分鐘後恰在 B 開始，正確。D：T=6 時，30÷6=5，5 是奇數，30=5T，30 分鐘後也恰在 B 開始，正確。

A：T=15 時，30÷15=2，2 是偶數；經過 A、B 兩段後會回到 A 開始，不是 B 開始。

C：T=8 時，30÷8=3.75，不是整數，30 分鐘時落在某段廣告播放中，不能恰好開始播放 B。

E：T=5 時，30÷5=6，6 是偶數，會回到 A 開始，不是 B 開始。

本題考點：週期與交替——A、B 各播 T 分鐘，完整週期為 2T；邊界判定——從 A 開始到 B 開始需經過奇數個 T，故檢驗 30/T 是否為正奇數。

正解：a=6 與 b=20/3 是有理數、c=2√10 是無理數、d 為有理數，五個選項分別考有理與無理數的運算、數線上的距離、中點比較與開區間的整數計數，須逐項套用各自的判準檢驗。C：取 d=-6，它是有理數而符合題設，則點 D 與點 C 的距離為 |d-c|=|-6-2√10|=6+2√10=2√10+6，恰為所述之值，故這個距離有可能發生，C 正確。D：A、B 的中點坐標為 (6+20/3)/2=(18/3+20/3)/2=(38/3)/2=19/3≈6.333；與 c=2√10=√40≈6.325 比較，為免小數位判斷失準，改比較平方：(19/3)²=361/9≈40.11>40=(2√10)²，故 19/3>2√10，中點位在點 C 的右邊，D 正確。E：與點 B 距離小於 8 即 |x-20/3|<8，解得 20/3-8<x<20/3+8，即 -4/3<x<44/3；其中正整數為 1 到 14 共 14 個（因 44/3≈14.67），負整數只有 -1 一個（因 -4/3≈-1.33），與敘述相符，E 正確。

A：a+b+c+d=6+20/3+2√10+d=(38/3+d)+2√10。38/3+d 為有理數，有理數加上無理數 2√10 仍為無理數，故不必為一個有理數，A 錯誤。

B：abcd=6×(20/3)×2√10×d=80√10×d。d 只被限定為有理數，題目並未排除 0；若 d=0 則乘積為 0，是有理數，故不必為一個無理數，B 錯誤。它看起來對，是因為四數之中確實含有無理數因子，分辨關鍵在「必為」要求對每一個合法的 d 都成立，而 d=0 就是反例。

本題考點：有理數與無理數的運算——有理數加無理數必為無理數，乘積則須另外檢查有理因子是否可能為 0；數線距離——以 |x-y| 建立式子，再找出符合題設條件的有理坐標；開區間整數計數——先解不等式定出兩端點，再分別數正整數與負整數，並注意端點不計入。

正解：題幹明示甲每 3 小時、乙每 2 小時皆變為 2 倍，且 18 點兩者相同；因此先以指數模型和 18 點條件求 X、Y 的關係。設 t 為 12 點起算的小時數，甲的數量為 X×2^(t/3)，乙的數量為 Y×2^(t/2)。18 點時 t=6，甲為 X×2^(6/3)=X×2^2=4X，乙為 Y×2^(6/2)=Y×2^3=8Y。由 4X=8Y 得 X=2Y。A：X=2Y>Y，正確。E：24 點時 t=12，甲為 X×2^(12/3)=16X；乙為 Y×2^(12/2)=64Y=64×(X/2)=32X，所以乙／甲=32X/16X=2，乙為甲的 2 倍，正確。

B：13 點時 t=1，甲為 X×2^(1/3)，不是 X×4/3；把 3 小時倍增誤當成每小時線性增加 1/3 倍，才會得到 4X/3。

C：15 點時 t=3，乙為 Y×2^(3/2)=Y×√8=2√2Y≈2.83Y，不是 3Y。

D：19 點時 t=7，乙／甲=[Y×2^(7/2)]／[X×2^(7/3)]。代入 X=2Y，得乙／甲=2^(7/2-7/3-1)=2^(1/6)≈1.12，不是 1.5。

本題考點：指數成長模型——每 k 小時變為 2 倍，數量寫成初值×2^(t/k)；同時刻相等——先代入共同時刻建立初值關係，再求其他時刻；分數次方——非整數小時仍須保留 2 的分數次方，不可用線性內插。

正解：圓心 A(a,b) 與兩座標軸都相切，且 a>c>0、P(c,c)，應先以「圓心到兩軸的距離都等於半徑」列出 b 的可能，再用距離公式處理 PA=a+c。圓與 y 軸相切，半徑 r=|a|=a；與 x 軸相切，所以 |b|=a，即 b=a 或 b=-a。若 b=-a，PA²=(a-c)²+(-a-c)²=2a²+2c²；又 PA=a+c，所以 PA²=(a+c)²=a²+2ac+c²，兩式相等會得 (a-c)²=0，與 a>c 矛盾，故 b=a。A：a=b，故 A 正確。再由 PA²=(a-c)²+(b-c)²=2(a-c)²，且 PA=a+c，得 2(a-c)²=(a+c)²。因 a>c>0，兩邊開根號得 √2(a-c)=a+c。D：(a+c)/(b-c)=(a+c)/(a-c)=√2，故 D 正確。

B：P(c,c) 在直線 x+y=0 上須滿足 c+c=0，即 2c=0；但 c>0，故 P 不在該直線上，B 錯誤。

C：圓半徑 r=a，而 PA=a+c；因 c>0，所以 PA=a+c>a=r，P 在圓外，不在圓內，C 錯誤。它看起來對，是因為 P 的兩座標都小於圓心座標，但圓內外須比較點到圓心的距離與半徑，不能只比較座標大小。

E：由 √2(a-c)=a+c，整理為 (√2-1)a=(√2+1)c，所以 a/c=(√2+1)/(√2-1)。分子分母同乘 √2+1，得 a/c=(√2+1)²/(2-1)=3+2√2，不是 2+3√2，E 錯誤。

本題考點：圓與座標軸相切——圓心到每條相切座標軸的距離皆等於半徑，先列出座標正負的可能再以題設距離排除；兩點距離——先平方代入，再依正值條件開根號；圓內外判準——點到圓心距離小於、等於、大於半徑時，分別在圓內、圓上、圓外。

正解：球面上的路徑長一律用「圓心角占整圓的比例乘以所在圓的周長」計算，所以第一步是辨認每段路徑落在哪一個圓上。設球半徑為 R：赤道與所有經線都在半徑 R 的大圓上，北緯 φ 線則是半徑 Rcosφ 的小圓。A：赤道長為 2πR；一條經線是大圓的一半，長為 πR，東經 0° 與東經 180° 兩條經線合計 πR+πR=2πR，恰等於赤道長，A 正確。C：A 與 B 的經度差為 60°，沿赤道的最短路徑長為 (60/360)×2πR=πR/3；D 在北緯 30°，沿東經 0° 經線到北極點的緯度差為 90°-30°=60°，路徑長為 (60/360)×2πR=πR/3，兩者相等，C 正確。

B：北緯 45° 線的半徑為 Rcos45°=(√2/2)R，周長為 2π×(√2/2)R=√2πR；赤道長為 2πR，比值為 √2πR/(2πR)=√2/2≈0.707，不是 1/2，B 錯誤。它看起來對，是因為 45° 恰好是 90° 的一半，分辨關鍵在緯線長度隨的是 cos（緯度）而不是緯度本身。

D：北緯 30° 線的半徑為 Rcos30°=(√3/2)R，D 沿該緯線移動到 E 是走半圈，長度為 π×(√3/2)R=(√3/2)πR≈2.72R；而 D 經北極點再到 E 的兩段經線各長 πR/3，合計 2πR/3≈2.09R，兩者不相等，D 錯誤。

E：通過北極點 (0,0,R) 與 A(R,0,0) 的直線方向為 (R,0,-R)，通過北極點與 C(0,R,0) 的直線方向為 (0,R,-R)，兩者內積為 0+0+R²=R²≠0，並不互相垂直，E 錯誤。

本題考點：球面路徑長——先辨認路徑所在的圓，經線與赤道為半徑 R 的大圓，北緯 φ 線為半徑 Rcosφ 的小圓；弧長計算——以圓心角占 360° 的比例乘以該圓周長，圓心角相同時弧長未必相同；垂直判準——兩直線的方向向量內積為 0 才互相垂直。

參考方向：取常用對數，令 x=log a、y=log b。由 ab²=10⁵ 得 x+2y=5；由 a²b=10³ 得 2x+y=3。兩式相減 (x+2y)−(2x+y)=5−3 得 −x+y=2，相加 3x+3y=8 得 x+y=8/3。聯立解出 y=log b=7/3。故 log b=7/3（最簡分數）。此為 AI 整理之解題方向，非官方標準答案，須對照官方評分原則。

參考方向：取相異 a<b<c 成等差，設公差 d≥1，則 b=a+d、c=a+2d，需 c=a+2d≤20。對固定 d，a 可取 1 到 20−2d，共 20−2d 種（需 ≥1，故 d=1~9）。總數 =Σ_{d=1}^{9}(20−2d)=18+16+14+…+2=2(9+8+…+1)=2×45=90 種。故 (a,b,c) 取法為 90 種。此為 AI 整理之解題方向，非官方標準答案，須對照官方評分原則。

參考方向：每段長皆為 2，方向每段左轉 15°。向量 P₂P₃ 為第 3 段、P₅P₆ 為第 6 段，兩者方向相差 3 個 15°，即 45°。內積 =|P₂P₃||P₅P₆|cos45°=2×2×(√2/2)=2√2=√8。化最簡根式為 2√2（即 (15-1)=2、(15-2)=2，內積 =2√2）。此為 AI 整理之解題方向，非官方標準答案，須對照官方評分原則。

參考方向：設左下角 O=(0,0)、P=(6,8)。將 O 摺至 P，摺線為線段 OP 的中垂線。OP 中點 (3,4)、OP 斜率 4/3，中垂線斜率 −3/4，方程式 y−4=−(3/4)(x−3)。與下邊界 y=0 交於 x=25/3，與左邊界 x=0 交於 y=25/4。摺進去的三角形頂點為 O(0,0)、(25/3,0)、(0,25/4)，面積 =½×(25/3)×(25/4)=625/24 平方公分（即 (16-1)(16-2)(16-3)=625，分母 24）。此為 AI 整理之解題方向，非官方標準答案，須對照官方評分原則。

考點：計數的「貢獻法」。長度 5、每位 0/1/2 共 3 種。依連續 00 的起始位置 i（可為 1、2、3、4）分別計：固定第 i、i+1 位為 00，其餘 3 位自由有 3^3=27 種。4 個位置合計 a(5)=4×27=108。用公式 a(n)=(n−1)·3^{n−2} 驗證，a(3)=2×3=6 與題例相符。答案為 108。

單點透視題組。底座線 L：x+3y=0、頂端線 M：2x−3y+9=0，A₁(0,0)、B₁(0,3)，消失點 P 為兩線交點得 P(−3,1)。由 A₃B₃=2·A₁B₁=6，A₃ 在 L、B₃ 在 M 且同 x，解得 A₃(3,−1)。A₁、A₃、P 共線，PA₁=(3,−1)、PA₃=(6,−2)=2·PA₁，故 k=1/2。此為 AI 整理之方向，非官方標準答案，須對照官方評分原則。

P 為消失點，即 L：x+3y=0 與 M：2x−3y+9=0 的交點，兩式相加得 3x+9=0，x=−3、y=1，故 P(−3,1)。求 B₃：A₃B₃=2·A₁B₁=6，桿與 y 軸平行，A₃ 在 L、B₃ 在 M 且同 x=t，鉛直長 (2t+9)/3−(−t/3)=t+3=6，得 t=3，故 B₃(3,5)。此為 AI 整理之解題方向，非官方標準答案，須對照官方評分原則。

先定 A₂、B₂：由透視性質「A₁B₃ 與 A₃B₁ 的交點落在 A₂B₂ 上」，以 A₁(0,0)、B₃(3,5)、A₃(3,−1)、B₁(0,3) 求對角線交點得 x=1，故 A₂(1,−1/3)、B₂(1,11/3)。Q 在 A₂B₂ 上且 A₂Q:QB₂=1:2，Q=A₂+(1/3)(B₂−A₂)=(1,1)。此為 AI 整理之方向，非官方標準答案，須對照官方評分原則。