115 年學科能力測驗數學B試題與答案

正解：題幹給誤差百分比小於 5％，先化為絕對值不等式，再列出所有整數。|N−95|／95×100％＜5％，兩邊除以 100％得 |N−95|／95<0.05；兩邊乘 95 得 |N−95|＜4.75。故 −4.75<N−95<4.75，90.25<N<99.75。整數 N 為 91、92、93、94、95、96、97、98、99，共 9 個，故 D 正確。

A：4 個未依絕對值範圍完整列舉整數，故錯誤。

B：5 個只取接近 95 的部分整數，漏掉 91、92、98、99 等符合者。

C：8 個少算一個符合範圍的整數。

E：10 個會把不符合嚴格不等式範圍的端點外整數納入，故錯誤。

本題考點：誤差百分比——先將百分比改為小數再移項；絕對值不等式——|x−a|＜r 等價於 a−r<x<a+r；整數計數——依開區間逐一列出整數。

正解：題幹給連續複利本利和 100e^(3n/100)=135，關鍵是未知數 n 在指數上，故先將指數函數化為比值，再取自然對數。100e^(3n/100)=135；兩邊同除以 100，得 e^(3n/100)=135/100；兩邊取 ln，得 ln(e^(3n/100))=ln(135/100)；因此 3n/100=ln(135/100)；兩邊同乘 100/3，得 n=(100/3)ln(135/100)。故 E 為正解。

A：ln（135-100）把本利和差額 35 放入對數，未先將 100e^(3n/100)=135 除以 100，錯在對數內的量。

B：雖有係數 100/3，仍把對數內誤寫成 135-100，而非 135/100。

C：將 135/100 與 3/100 的位置及運算關係混淆，不由 3n/100=ln(135/100)推出。

D：對數內的 135/100 正確，但將解 n 時應乘的倒數 100/3 誤寫成 3/100。它看起來對，是因為保留了正確的本利比，卻忽略移除指數係數時必須除以 3/100。

本題考點：指數方程式與自然對數——先把 e 的指數項孤立，再用 ln(e^x)=x 消去指數；解 ax=b 時要乘 1/a，因此 3n/100=ln(135/100)須乘 100/3。

正解：題目給的是 A 將兩個向量映到何處，求反方陣時要把結果向量映回原向量。由 A[1,1]ᵀ=[0,1]ᵀ，可得 A⁻¹[0,1]ᵀ=[1,1]ᵀ；由 A[1,-1]ᵀ=[1,0]ᵀ，可得 A⁻¹[1,0]ᵀ=[1,-1]ᵀ。A⁻¹ 的第一欄是 A⁻¹[1,0]ᵀ=[1,-1]ᵀ，第二欄是 A⁻¹[0,1]ᵀ=[1,1]ᵀ，故 A⁻¹=[[1,1],[-1,1]]，符合 B，故 B 為正解。

A：其第一欄為 [0,1]ᵀ，表示把 [1,0]ᵀ 映成 [0,1]ᵀ，與 A⁻¹[1,0]ᵀ=[1,-1]ᵀ 不符，A 錯誤。

C：其第一欄為 [1,1]ᵀ，但應為 [1,-1]ᵀ；第二欄也應為 [1,1]ᵀ，C 錯誤。

D、E：兩者的第一欄分別為 [1,-1/2]ᵀ、[1,1/2]ᵀ，均不等於 A⁻¹[1,0]ᵀ=[1,-1]ᵀ，D、E 錯誤。它們看起來對，是因為係數 1/2 常出現在由兩個向量反解矩陣的計算中；但本題先直接利用反方陣的映射關係即可檢驗。

本題考點：反方陣的映射意義——若 Av=w，則 A⁻¹w=v，求反方陣時要將像向量送回原向量；矩陣欄向量判準——M 的第一、二欄依序為 M[1,0]ᵀ、M[0,1]ᵀ，逐欄代入即可驗證。

正解：題幹說兩船等速，應比較實際弧長而非直接比較經度差。甲船從西經 169 度向西到東經 171 度，跨越 180 度，經度差＝(180−169)＋(180−171)＝11+9=20 度。北緯 60 度緯線半徑為赤道半徑的 cos 60度＝1/2，所以甲的實際弧長相當於赤道 20×1/2=10 度的弧長。乙船同時間在赤道向東航行 10 度，從東經 140 度到東經 150 度，故 C 正確。

A：120 度表示乙船反向或多算 20 度，與向東航行不符。

B：130 度表示乙船向西 10 度，與題意向東不符。

D：160 度把北緯 60 度的 20 度經差直接視為赤道 20 度弧長，忽略 cos 60度，故錯誤。

E：180 度更把實際弧長高估為 40 度，故錯誤。

本題考點：緯線弧長——同一經度差的弧長與 cos（緯度）成正比；等速同時——兩船行經的實際弧長相等，須先把高緯度經差換成赤道等效距離。

正解：題幹每次先取前次的 3/2，超過 2N 才再減半，因此必逐次判斷。第 4 次為 27N/16。第 5 次預定＝27N/16×3/2=81N/32；81/32>2，故實投＝81N/32×1/2=81N/64=3^4N/2^6。第 6 次預定＝81N/64×3/2=243N/128；243/128<2，故實投＝243N/128=3^5N/2^7。第 7 次預定＝243N/128×3/2=729N/256；729/256>2，故實投＝729N/256×1/2=729N/512=3^6N/2^9，故 C 正確。

A：3^6N/2^6 少了第 5、7 次超過 2N 後各減半的處理。

B：3^6N/2^8 只處理了一次減半，故錯誤。

D：3^7N/2^7 多乘了一次 3/2，故錯誤。

E：3^7N/2^10 的冪次與逐次計算不符。

本題考點：遞推計算——每一步先乘 3/2，再依是否大於 2N 分段處理；分段判準——比較係數與 2 的大小後才能決定是否再乘 1/2。

正解：本題先以平行線距離求相距 12 浬的兩條候選線，再用內側點判斷領海所在的外側。設平行線為 4x+3y+c=0。兩線距離為｜c+12｜／√(4²＋3²)＝｜c+12｜／5=12，所以｜c+12｜＝60，得 c+12=60 或 c+12＝-60，即 c=48 或 c＝-72。候選線為 4x+3y+48=0 與 4x+3y-72=0。內側點 (5,5) 有 4×5+3×5=35>12，故內側為 4x+3y>12，領海外側應為 4x+3y<12。A：4x+3y+48=0 即 4x+3y＝-48<12，位在外側，故 A 為正解。

B：4x+3y+18=0 即 4x+3y＝-18，雖在外側，但與 L 的距離為｜18+12｜／5=30/5=6 浬，不是 12 浬，B 錯誤。

C：4x+3y=0 可寫成 4x+3y+0=0，與 L 的距離為｜0+12｜／5=12/5 浬，不是 12 浬，C 錯誤。

D：4x+3y-24=0 即 4x+3y=24>12，位於內側；且距離為｜-24+12｜／5=12/5 浬，不是 12 浬，D 錯誤。

E：4x+3y-72=0 即 4x+3y=72>12，距離為｜-72+12｜／5=60/5=12 浬，但它在內側，不是領海外側，E 錯誤。它看起來對，是因為 E 的距離計算正確，卻忽略領海必須選在遠離內側點的一側。

本題考點：平行線距離——兩平行線 ax+by+c₁＝0、ax+by+c₂＝0 的距離為｜c₁-c₂｜／√(a²＋b²)，先解出所有候選線；半平面判定——代入已知內側點辨認內外方向，領海外界須同時符合距離與外側條件。

正解：題幹同時給 p=P（至少兩個中獎｜A 中獎）與 q=P（A 中獎｜至少兩個中獎），關鍵是條件方向相反，先各自依定義計算。設事件 M 為「至少兩個福袋中獎」。A 已中獎時，M 等同於 B、C 至少一個中獎：p=P（M|A）=1-P（B 未中且 C 未中）=1-（1-2/3）×（1-1/2）=1-1/3×1/2=1-1/6=5/6。　再算 P（M）。三個都中獎：3/4×2/3×1/2=1/4；僅 A、B 中獎：3/4×2/3×（1-1/2）=1/4；僅 A、C 中獎：3/4×（1-2/3）×1/2=1/8；僅 B、C 中獎：（1-3/4）×2/3×1/2=1/12。因此 P（M）=1/4+1/4+1/8+1/12=6/24+6/24+3/24+2/24=17/24。含 A 中獎且 M 的機率為 1/4+1/4+1/8=6/24+6/24+3/24=15/24，所以 q=P（A|M）=（15/24）÷（17/24）=15/17。故 p/q=（5/6）÷（15/17）=5/6×17/15=85/90=17/18，B 為正解。

A：11/18 不是依上述 p=5/6、q=15/17 代入所得；若只處理部分「至少兩中」情況，會遺漏機率。

C：1 等於誤把 p、q 當成同一條件機率；但 P（M|A）與 P（A|M）的條件不同。它看起來對，是因為兩式都出現 A 與「至少兩中」，卻把已知條件與所求事件對調。

D：18/17 是把正確比值 17/18 倒數，將 p/q 誤算成 q/p。

E：18/11 不符合 p/q=（5/6）÷（15/17）的逐步計算結果。

本題考點：條件機率——先明寫事件與條件，P（M|A）和 P（A|M）不可互換；互相獨立時用未中獎機率相乘求補事件；算「至少兩個」可分成三中與恰兩中四種情形再加總。

正解：本題要判斷每個實數 x 的函數值都相同，先以和差角公式把原式化成同一個標準式。令 θ＝πx/5。原式 y=3sin(θ＋π)＋3=3(−sinθ)＋3＝−3sinθ＋3。C：3sin(θ−π)＋3=3(−sinθ)＋3＝−3sinθ＋3，與原式完全相同，故 C 正確。E：−3sin(πx/5)＋3 已與化簡結果完全相同，故 E 正確。

A：6sin(πx/5)＋3 的振幅為 6；原式化簡後的振幅為 3。振幅不同，函數值不會對每個 x 都相同，A 錯誤。

B：sin((π/5+2π)x＋π) 的 x 係數為 π/5+2π，原式為 π/5，週期分別為 2π÷(π/5+2π) 與 2π÷(π/5)，頻率已改變，B 錯誤。

D：−3sin(πx/5)−3 與原式化簡後的 −3sin(πx/5)＋3 相比，常數項由 ＋3 變為 −3，整體相差 6。它看起來對，是因為正弦項係數相同，但垂直平移量不同，D 錯誤。

本題考點：三角函數恆等變形——sin(θ＋π)＝sin(θ−π)＝−sinθ，先化為同一式再比較；函數恆等判準——振幅、x 的係數與常數項只要有一項不同，即不得視為對所有 x 同值。

正解：f(x)=(1-x)(2-x)^2(4+x) 本身已是因式分解形式，餘式、平移展開與正負號都能直接從因式讀出，而大小比較則令 t=x-2 或直接代值即可。B：令 t=x-2，則 1-x=-1-t、2-x=-t、4+x=6+t，故 f(x)=(-1-t)(-t)^2(6+t)=-t^2(1+t)(6+t)=-t^2(6+7t+t^2)=-t^4-7t^3-6t^2。對照 a(x-2)^4+b(x-2)^3+c(x-2)^2 得 a=-1、b=-7、c=-6，故 c=-6，B 正確。D：2026-2=2024、-2022-2=-2024，故 f(2026)=(1-2026)(2-2026)^2(4+2026)=(-2025)(-2024)^2(2030)，f(-2022)=(1+2022)(2+2022)^2(4-2022)=(2023)(2024)^2(-2018)。相除時 (2024)^2 約掉，得 f(2026)/f(-2022)=[(-2025)(2030)]/[(2023)(-2018)]=(2025×2030)/(2023×2018)=4110750/4082414>1，D 正確。

A：f(x)=(1-x)(2-x)^2(4+x)=[(1-x)(2-x)(4+x)]×(2-x)，被除式恰好等於「除式乘以 (2-x)」，故餘式為 0，不是 -x+2，A 錯誤。它看起來對，是因為商式 2-x 與 -x+2 是同一個式子，分辨關鍵在它的身分是商而不是餘式。

C：臨界點為 x=-4、1、2。取 x=-5 得 f(-5)=(6)(7)^2(-1)<0；取 x=0 得 f(0)=(1)(2)^2(4)>0；取 x=3/2 得 f(3/2)=(-1/2)(1/2)^2(11/2)<0；取 x=3 得 f(3)=(-2)(-1)^2(7)<0。故 f(x)>0 的解區間為 (-4,1) 而不是 (-4,2)，C 錯誤。分辨關鍵在 x=2 是偶重根，跨越時正負號不變，真正的變號點是單根 x=1。

E：由 D 的計算，f(2026)=(-2025)(2024)^2(2030)<0，f(-2022)=-(2023)(2024)^2(2018)<0，兩者同為負數而比值大於 1，表示 f(2026) 的絕對值較大、數值反而較小，故 f(2026)<f(-2022)，E 錯誤。

本題考點：多項式除法——被除式可寫成「除式×商式」時餘式為 0；平移展開——令 t=x-2 後依 t 的次方收集係數，即得以 (x-2) 為底的表示式；因式正負判定——單根跨越時變號、偶重根跨越時不變號，故 x=2 不改變正負；負數大小判準——兩數皆為負且比值大於 1 時，分子反而是較小的那個。

正解：官方答案為 AD；惟本筆輸入的題幹截斷，A～E 選項皆為空字串，無法由現有題面獨立覆核。原詳解記錄身長變異數為 100，所以身長標準差＝√100=10；A 濃度變異數為 225，所以 A 濃度標準差＝√225=15；相關係數 r=0.75，且每隻昆蟲的 B 濃度＝0.5×A 濃度。A：S_B=0.5×S_A=0.5×15=7.5=15/2，因此 B 濃度的標準差為 15/2，A 為官方正解。D：A 濃度對身長的迴歸線必通過平均數點（65，50），代入身長＝65，預測 A 濃度＝50，D 為官方正解。

B：由 B=0.5A 可算平均數 B 平均＝0.5×50=25，但題面紀錄未提供 A 濃度的中位數或分布，因此不能由平均數 50 算出中位數，B 錯誤。

C：因 B=0.5A，B 與 A 呈完全正向線性關係，所以相關係數＝1，而非 0.5，C 錯誤。

E：B 濃度對身長的迴歸斜率＝r×（S_B/S_身長）＝0.75×（7.5/10）＝0.75×0.75=0.5625=9/16，而 1/2=0.5；9/16≠1/2，E 錯誤。

本題考點：線性縮放——Y=kX 時，標準差＝|k|×X 的標準差，且 k>0 時兩者相關係數為 1；迴歸線——必通過兩變數的平均數點，斜率＝r×（Y 的標準差/X 的標準差）；統計量判讀——中位數不能只由平均數推定。

正解：本題要比較同一頂點、同一軸線的兩個圓錐面與固定地面的截痕，應用圓錐曲線的截痕判定。大燈罩照射範圍較大，表示 Γ 的半頂角大於 γ；半頂角愈大，截痕類型依序更容易由橢圓跨過拋物線而成雙曲線。B：若 Γ 為拋物線，Γ 的半頂角正好在臨界值；γ 的半頂角較小，必為橢圓，故 B 正確。E：若 γ 已為雙曲線，γ 的半頂角已大於臨界值；Γ 的半頂角更大，仍為雙曲線，故 E 正確。

A：若 Γ 是橢圓，γ 的半頂角比 Γ 更小，也應為橢圓，不能成為拋物線，A 錯誤。

C：若 Γ 是雙曲線，γ 的半頂角較小，可能是雙曲線、拋物線或橢圓，無法必定為拋物線，C 錯誤。它看起來對，是因為小一級的半頂角可能恰好落在拋物線臨界值，但題幹未給出這個臨界關係。

D：若 γ 是拋物線，Γ 的半頂角更大，必跨過臨界值成為雙曲線，不是拋物線，D 錯誤。

本題考點：圓錐曲線截痕判定——固定截平面時，以圓錐半頂角與平面傾角比較判定截痕，半頂角由小到大依序可視為橢圓、拋物線、雙曲線；單調性判準——大燈罩半頂角較大，已達雙曲線者放大後仍為雙曲線，已達拋物線者縮小後為橢圓。

正解：題幹每次稀釋後總糖量固定為 100 公克，先由一次操作建立遞迴式。A：起初 A 有 100 公克糖，倒出 500 mL 後 A 留 50 公克；B 的 500 mL 含 50 公克糖，混勻後倒回 500 mL，倒回糖量＝50×500/1000=25 公克，所以 a_1=50+25=75，故正確。C：第 n 次後 A 有 a_n 公克糖，倒出一半後 A 留 1/2a_n；B 此時有 100−1/2a_n 公克糖，B 混勻後倒回一半，帶回 1/2（100−1/2a_n）公克，因此 a_(n+1)＝1/2a_n+1/2（100−1/2a_n），故正確。D：遞迴化簡為 a_(n+1)＝1/4a_n+50。令不動點 c 滿足 c=1/4c+50，3/4c=50，c=200/3；故 a_(n+1)−200/3=1/4（a_n−200/3），所以〈a_n−200/3〉為公比 1/4 的等比數列，故正確。

B：第 n 次後 B 的含糖量應由總糖守恆為 100−a_n 公克，不是 50−1/2a_n，故錯誤。

E：a_n 收斂至 200/3≈66.7。且 a_n−200/3=(1/4)^n(100−200/3)＞0，所以 a_100>200/3>60，不是小於 60，故錯誤。

本題考點：濃度與守恆——混勻後糖量按體積比例分配，總糖量維持 100 公克；遞迴數列——先化為 a_(n+1)＝1/4a_n+50；不動點法——減去不動點後成等比數列。

參考方向：交點 P 與 O(0,0)、(-20,0) 構成三角形。底邊長 20 在 x 軸上，(-20,0) 處角為 L₂ 斜角 30°，O 處角為 180°-75°=105°，第三角=45°。由正弦定理 OP/sin30°=20/sin45°，得 OP=20·(1/2)÷(√2/2)=10√2≈14.14，四捨五入為 14。即 13-1=1、13-2=4。此為 AI 整理之解題方向，非官方標準答案，須對照官方評分原則。

參考方向：5,6 相鄰且 6,7 相鄰，迫使 5、6、7 連成一塊且 6 居中（567 或 765，2 種）。3,4 相鄰另成一塊（34 或 43，2 種）。將塊 [567]、塊 [34]、1、2 視為 4 個單位排列，得 4!=24。總數=24×2×2=96。即 14-1=9、14-2=6。此為 AI 整理之解題方向，非官方標準答案，須對照官方評分原則。

參考方向：設有近視有蛀牙比例為 a。由邊際和：有近視無蛀牙=1/2-a、有蛀牙無近視=1/3-a、p=無近視無蛀牙=2/3-(1/2-a)=1/6+a。條件「近視中有蛀牙占少數」得 a<1/2-a 即 a<1/4；「有蛀牙中有近視占多數」得 a>1/3-a 即 a>1/6。故 1/6<a<1/4，代入得 1/3<p<5/12。即 15-1/15-2=1/3、15-3/(15-4 15-5)=5/12。此為 AI 整理之解題方向，非官方標準答案，須對照官方評分原則。

參考方向：L 過 (1,0)、(5,4) 斜率為 1，f(x)=x-1。g(x)-f(x) 為二次且在 x=1、5（兩交點）為 0，設 g-f=k(x-1)(x-5)。由 (2,2) 在 Γ 上：g(2)-f(2)=2-1=1=k(1)(-3)，得 k=-1/3。g-f=-(1/3)(x-1)(x-5)，頂點 x=3 處取最大值=-(1/3)(2)(-2)=4/3。即 16-1=4、16-2=3。此為 AI 整理之解題方向，非官方標準答案，須對照官方評分原則。

參考方向：單點透視中，與 z 軸平行的線在畫布上垂直，故畫面橫坐標只看 (x,y)；與 y 軸平行的線都交於消失點 (0,15)，代表沿 y 方向有遠近縮放，縮放比 f(y)=1/(1+y/26)（由 (3,4,0)→(13/5,2) 反推）。畫面影像可寫成由消失點縮放：影像 =(0,15)+(原位置−(0,15))·f(y)。代 (3,4,3)：橫坐標 3·f(4)=3·(13/15)=13/5；縱坐標 15+(3−15)·(13/15)=15−156/15=23/5。故 (3,4,3) 的 y 坐標為 23/5。此為 AI 整理之解題方向，非官方標準答案，須對照官方評分原則。

正解：起點 (8,0)、終點 (0,0) 的連線是水平線段，應先求中點，再作通過中點且垂直於線段的直線。中點座標＝((8+0)/2,(0+0)/2)＝(4,0)。原線段斜率＝(0-0)/(0-8)＝0，故其中垂線為鉛直線，且通過 x=4，方程式為 x=4。A：x=4 符合，故 A 為正解。

B：y=4 是水平線，雖與原線段同為水平，卻不與它垂直，B 錯誤。它看起來對，是因為中點的 x 座標為 4，但中垂線須固定的是 x 值，不是把 4 放在 y 值。

C：y=x-4 通過中點 (4,0)，但斜率為 1；原線段斜率為 0，垂直於水平線的直線應為鉛直線，C 錯誤。

D：y=-x+4 的斜率為 -1，且代入中點得 0=-4+4，雖通過 (4,0)，仍非鉛直線，D 錯誤。

E：y=4x 的斜率為 4，代入中點得 y=4×4=16，不通過 (4,0)，E 錯誤。

本題考點：線段中垂線——先算中點，再作通過中點且垂直於線段的直線；水平線垂直判準——原線段斜率為 0 時，中垂線為 x＝常數的鉛直線。

參考方向：甲星繞圓心 P 逆時鐘轉 90°，由起點 A(8,0) 到終點 B(0,0)，故 PA=PB 且 ∠APB=90°。由 PA=PB 知 P 在 AB 中垂線 x=4 上，設 P(4,k)。逆時鐘 90° 旋轉把 A−P 轉成 B−P：(4,−k) 旋 90° 得 (k,4)，需等於 (−4,−k)，解得 k=−4，故 P(4,−4)。代入 L：y=x−8，x=4 時 y=−4，恰為 P，故 P 在 L 上。半徑² =PA² =4²+4²=32，圓方程式為 (x−4)²+(y+4)²=32。此為 AI 整理之解題方向，非官方標準答案，須對照官方評分原則。

參考方向：乙星與甲星同圓心 P(4,−4)（由第 19 題求得），同樣逆時鐘旋轉 90°。起點 Q(2,8)，故 PQ=Q−P=(2−4, 8−(−4))=(−2,12)。逆時鐘 90° 旋轉公式 (x,y)→(−y,x)，得 PR=(−12,−2)。終點 R=P+PR=(4−12, −4−2)=(−8,−6)。故 PR=(−12,−2)，R 坐標為 (−8,−6)。此為 AI 整理之解題方向，非官方標準答案，須對照官方評分原則。