111 年國中教育會考數學試題與答案

正解：題幹問絕對值何者最小，應用絕對值代表數線上該點到原點O的距離，先比較各點離O的遠近。由圖可判讀A點最靠近O，因此|a|最小，故 A 為正解。

B：|b|是B點到O的距離；由圖可見B比A離O遠，所以|b|>|a|，錯誤。

C：|c|是C點到O的距離；由圖可見C比A離O遠，所以|c|>|a|，錯誤。

D：|d|是D點到O的距離；由圖可見D比A離O遠，所以|d|>|a|，錯誤。

本題考點：絕對值的幾何意義——|x|就是數線上x到原點的距離；比較判準——距原點愈近，絕對值愈小，不能把數值最小或最靠左誤當成絕對值最小。

正解：多項式除法要先以最高次項相除，再相減。6x²÷2x²=3，所以商先取 3。3×2x²=6x²；(6x²+4x)−6x²=4x。4x 的次數是 1，低於除式 2x² 的次數 2，不能再除，因此餘式為 4x，故 D 為正解。

A：2 只留下數字，漏掉餘式中的 x，且不是相減所得。

B：4 同樣漏掉 x；相減後仍是 4x。

C：把 4x 的係數錯除成 2；餘式階數已低於除式，不能再把它除以 2x²。

本題考點：多項式除法——最高次項相除求商項，商項乘除式後相減；餘式的次數必須低於除式，4x 的次數 1 低於 2x² 的次數 2。

正解：題幹問的是「質因數」，必須同時是質數且能整除 156，所以先做質因數分解。156=2×78=2×2×39=2²×3×13，因此質因數為 2、3、13。13 是質數，且 156÷13=12，故 C 為正解。

A：156÷11 不是整數，11 不是 156 的因數。

B：156÷12=13，12 雖是因數，但 12=2²×3 是合數，不是質因數。

D：156÷14 不是整數，14 不是 156 的因數。

本題考點：質因數——先將整數分解為質數相乘；質因數必須同時符合「能整除原數」與「本身是質數」，因數不一定是質因數。

正解：題幹給出長方體展開圖且底面為正方形，應先由展開圖還原底面邊長與高，再用體積＝底面積×高。中間橫排的寬 12 是 3 個底面邊長之和，所以底面邊長＝12÷3=4。縱向長 22 包含上下兩個底面邊各 4 與側面高，所以側面高＝22−4−4=14。底面積＝4×4=16，體積＝16×14=224，故 B 為正解。

A：144=12×12，是把展開圖的總寬 12 直接平方，沒有先算出底面邊長 12÷3=4，也沒有乘上高 14。

C：若底面邊長仍為 4，體積 264 會反推出高＝264÷(4×4)＝16.5；但圖中高度應為 22−4−4=14，錯在把高多算 2.5。

D：若底面邊長仍為 4，體積 300 會反推出高＝300÷(4×4)＝18.75；這也不等於 22−4−4=14，表示沒有正確扣除上下兩個底面邊長。

本題考點：長方體展開圖還原——先從相連面判讀各標示長度代表幾條邊；正方形底面——12÷3=4；體積計算——4×4×14=224。

正解：判準是括號前的那個減號——去括號時括號內每一項都要變號，變號後再依分母分組合併。原式=9/22+11/18−(23/22−7/18)=9/22+11/18−23/22+7/18。先合併分母為 22 的兩項：(9−23)/22=−14/22=−7/11。再合併分母為 18 的兩項：(11+7)/18=18/18=1。最後相加：−7/11+1=−7/11+11/11=4/11，故 A 為正解。

B：9/10 要成立，分母為 22 的那組必須合併成 9/10−1=−1/10，但實際是 (9−23)/22=−7/11，中間值對不上，錯誤。

C：1/9 要成立，分母為 22 的那組必須合併成 1/9−1=−8/9，與 −7/11 不符，錯誤。

D：5/4 要成立，分母為 22 的那組必須合併成 5/4−1=1/4，不但數值與 −7/11 不同，正負號也相反，錯誤。

本題考點：括號前為負號的去括號——括號內每一項都要變號，−(23/22−7/18) 展開為 −23/22+7/18，兩項的號都要改；同分母優先合併——先把 22 一組與 18 一組各自算完，得到 −7/11 與 1 兩個中間值，避免一次通分成大分母；整數與分數相加——把 1 改寫成 11/11 再與 −7/11 相加得 4/11。

正解：題幹要判斷平方根落在哪個區間，先以相鄰整數的平方夾住 2022。44²=1936，45²=2025，且 1936<2022<2025，所以 44<√2022<45；因此 √2022 介於 40 與 45 之間，D 為正解。

A：25 與 30 的上界平方為 30²=900，900<2022，區間明顯太小，錯誤。

B：30 與 35 的上界平方為 35²=1225，1225<2022，區間太小，錯誤。

C：35 與 40 的上界平方為 40²=1600，1600<2022，區間仍太小，錯誤。它看起來接近，是因為 2022 接近 2000，但須實際比較平方值。

本題考點：平方根估算——找相鄰整數 m、m+1，逐步算 m² 與(m+1)²；若 m²<N<(m+1)²，則 m<√N<m+1。

正解：直線 x=-2 是鉛直線，點到鉛直線的距離只需比較 x 坐標。A 點的 x 坐標為 6，距離=|6-（-2）|=|6+2|=8，D 為正解。

A：3 並非 |6-（-2）| 的計算結果，錯誤。

B：4 是把 x=-2 的負號誤作 x=2，算成 |6-2|，錯誤。

C：7 不符合坐標差的計算，錯誤。

本題考點：點到鉛直線距離——對直線 x=a，距離=|點的 x 坐標-a|；y 坐標不影響此距離。

正解：題幹已指定因式形式，應以展開後的係數核對 a、b、c。39x²+5x-14=(3x+2)(13x-7)，因為 3x×13x=39x²，3x×(-7)+2×13x=-21x+26x=5x，2×(-7)=-14。故 a=2、c=-7，a+2c=2+2×(-7)=2-14=-12，A 為正解。

B：-3 不是 2+2×(-7)的結果，錯誤。

C：3 未依 c=-7 代入，錯誤。

D：12 是把 a、c 的符號弄反；交叉項便無法湊成 +5x，錯誤。

本題考點：二次式因式分解——先使首項相乘為 39x²、常數相乘為 -14，再驗算兩個交叉項相加是否為 +5x；代入求值時保留常數項符號。

正解：本題是取後不放回，須先列出剩下的球。原本每個號碼各有 2 顆；抽走 1、2、2、3、5 後，剩下 1、3、4、4、5、6、6，共 7 顆。與已抽球任一號碼相同，號碼須屬於 {1、2、3、5}；剩球中符合的是 1、3、5，共 3 顆，所以機率=3/7，C 為正解。

A：3/6 的分母 6 錯誤，抽走 5 顆後應剩 12-5=7 顆。

B：4/6 同時把總剩球數算錯，錯誤。

D：4/7 把 4 號球誤列入符合號碼，或多算了符合球數，錯誤。

本題考點：不放回機率——先依每個號碼的原有顆數扣除已抽顆數，再以「符合條件的剩球數／剩球總數」計算。

正解：本題給的是完全平方式等於一個常數，先開平方求出兩根，再依 a>b 判定哪一個是 a。由 (x−2)²=3 兩邊開平方得 x−2=±√3，各自加 2 得 x=2+√3 與 x=2−√3。因 √3≈1.73，2+√3≈3.73、2−√3≈0.27，故 a=2+√3、b=2−√3。代入 2a+b=2(2+√3)+(2−√3)=4+2√3+2−√3=(4+2)+(2√3−√3)=6+√3，故 C 為正解。

A：9 來自把 (x−2)²=3 誤讀成 x−2=±3，得 x=5 或 x=−1，再算 2×5+(−1)=9；漏掉開平方這一步，錯誤。它看起來對，是因為 9 是四個選項中唯一的整數，而少了根號時數字剛好湊得乾淨。

B：−3 為負值，但 a=2+√3 與 b=2−√3 兩根皆為正數，2a+b 必為正數，錯誤。

D：−6+√3 的根號項算對、常數項卻變了號；正確合併是 4+2=6，得 6+√3，不是 −6+√3，錯誤。

本題考點：完全平方方程式——形如 (x−p)²=q 時先寫成 x−p=±√q，再各自加 p 得兩根，√q 不可省成 q；根的大小判定——√3 為正，故 2+√3 大於 2−√3，題目指定 a>b 時較大的那一根才是 a；含根號的整式代入——常數項與根號項分開合併，2(2+√3)+(2−√3) 中的係數 2 只乘 a 這一根。

正解：題幹的原價、8 折價與預算差額可用一元一次方程式連結。設哥哥預算為 x 元，原售價比預算多 1200 元，所以原售價=x+1200。打 8 折後為 0.8(x+1200)，且折後價比預算少 200 元，所以 0.8(x+1200)=x−200。展開得 0.8x+960=x−200；兩邊減 0.8x 再加 200，得 1160=0.2x；x=1160÷0.2=5800，故 C 為正解。

A：3800 不滿足方程式，0.8(3800+1200)=4000，而 3800−200=3600。

B：4800 不滿足方程式，0.8(4800+1200)=4800，而 4800−200=4600；常見錯因是把差額方向列錯。

D：6800 不滿足方程式，0.8(6800+1200)=6400，而 6800−200=6600。

本題考點：折扣與差額列式——先分清原價、折後價、預算，8 折為原價乘 0.8；「比預算少 200」必列成折後價=x−200。

正解：題幹的 10⁻⁶ 表示要把 7.52 的小數點向左移 6 位，因此採用科學記號展開法判斷數值。p=7.52×10⁻⁶。先算 10⁻⁶=0.000001。再代入：p=7.52×0.000001=0.00000752。0<0.00000752<1，且它與 0 的距離是 0.00000752，與 1 的距離是 1−0.00000752=0.99999248，所以較接近 0。B 為正解。

A：p=0.00000752 是正數，不小於 0；錯在把負指數誤當成負數。

C：p 與 0 的距離為 0.00000752，與 1 的距離為 0.99999248，前者較小，所以不接近 1。

D：0.00000752<1，不大於 1，錯誤。

本題考點：科學記號——10⁻⁶=0.000001，乘以 10⁻⁶ 時小數點向左移 6 位；數值位置判斷——先判斷正負與是否介於 0、1，再以到兩端的距離比較接近哪一端。

正解：題幹給弦 AB 的兩段長與弦心距，應先用垂徑定理找出弦中點，再以畢氏定理求 OC。AB=AC+BC=6+2=8。設弦心距垂足為 M，因 OM⊥AB，M 為 AB 中點，所以 AM=8÷2=4。MC=AC-AM=6-4=2，且 OM=3。在直角三角形 OMC 中，OC²＝OM²＋MC²＝3²＋2²＝9+4=13，因此 OC＝√13，故 D 為正解。

A：3 只取弦心距 OM，沒有求出斜邊 OC，錯誤。

B：4 只取半弦 AM，沒有使用畢氏定理，錯誤。

C：√11 表示把 MC 的平方項誤算為 2，正確應為 2²＝4，錯誤。

本題考點：垂徑定理——圓心到弦的垂線會平分該弦，先由 AB=8 得 AM=4；畢氏定理——直角三角形斜邊平方等於兩股平方和，OC＝√(3²＋2²)＝√13。

正解：題目問低於平均數的人數比例，平均數是 60 萬元，須把直方圖中 60 萬元以下各組人數相加。依圖得 5+5+10+40+80+100+80+80+65+45=510（萬人）。總人數為 750 萬人，所以百分率=510÷750×100%=68%，故 C 為正解。

A：6% 只取少數單一長條，沒有累計所有低於 60 萬元的組別。

B：50% 把平均數誤當作中位數；平均數不保證把人數平分。

D：73% 是把 60～66 萬元的 40 萬人也算入；題目要求「低於」60 萬元，不能包含該組。

本題考點：直方圖累計比例——先以題目給的平均數作分界，再加總符合範圍的各組人數，最後用符合人數÷總人數×100%；平均數不是中位數。

正解：關鍵在「中垂線」三個字——它同時給出中點與直角兩個條件，足以判定全等，再把 ∠EAC>90° 代進內角和比較角的大小。DE 為 AB 的中垂線，故 D 是 AB 的中點，DA=DB，且 DE⊥AB。在 △ADE 與 △BDE 中，DA=DB、DE 為共用邊、∠ADE=∠BDE=90°，兩三角形全等，因此 ∠1=∠2。再看直角三角形 BDE：∠1+∠B=90°，故 ∠B=90°−∠1；又 ∠B=∠C，所以 ∠C=90°−∠1。在 △AEC 中 ∠EAC+∠3+∠C=180°，代入後得 ∠EAC+∠3+90°−∠1=180°，整理為 ∠EAC=90°+∠1−∠3。題設 ∠EAC>90°，即 90°+∠1−∠3>90°，兩邊同減 90° 得 ∠1−∠3>0°，故 ∠1>∠3。兩項合起來為「∠1=∠2，∠1>∠3」，故 B 為正解。

A：前半的 ∠1=∠2 正確，但由 90°+∠1−∠3>90° 只能推得 ∠1>∠3，A 寫成 ∠1<∠3，方向相反，錯誤。

C：△ADE 與 △BDE 全等，對應角必相等，故 ∠1=∠2，C 的 ∠1≠∠2 不成立；且 ∠1<∠3 也與演算結果相反，兩項皆錯。

D：後半的 ∠1>∠3 與演算相符，前半的 ∠1≠∠2 卻違反全等三角形對應角相等，錯誤。它看起來對，是因為敘述由兩個小項組成，其中一項與正解相同，而全等這一步要另外由中垂線給的中點與直角推出來，兩項須各自驗證。

本題考點：中垂線的兩個條件——「中垂線」同時提供 DA=DB 與 DE⊥AB，配上共用邊 DE 即可判定 △ADE 與 △BDE 全等，對應角得 ∠1=∠2；等角條件的傳遞——由 ∠B=∠C 把直角三角形算出的 ∠B=90°−∠1 搬到 △AEC 使用；角度不等式——先把 ∠EAC 整理成 90°+∠1−∠3 的形式，再讓不等號兩邊同減 90°，即可把 ∠EAC>90° 這個條件轉成 ∠1 與 ∠3 的大小關係。

正解：題幹給每層高 3 公尺，須依安裝圖的垂直長度與固定偏移量計算。八樓樓地板到一樓地面跨 7 層，垂直段=7×3=21（公尺）。所需繩長=(21+1.6)−0.4−0.5=22.6−0.4−0.5=21.7（公尺），故 A 為正解。亦可先算三樓為 (6+1.6)−0.4−0.5=6.7，再加 5×3=15，得 6.7+15=21.7。

B：22.6 是 21+1.6，漏扣圖中的 0.4 公尺與 0.5 公尺。

C：24.7 比正確值多 3，等於把樓層差多算 1 層。

D：25.6 是把垂直段錯算為 8×3=24 後再加減固定量所得；八樓到一樓地面只跨 7 層。

本題考點：圖形長度與樓層差——先數兩位置間的樓層間隔，再乘每層高度，最後依圖加減固定長度；樓層編號不能直接當作跨越層數。

正解：題幹有兩組平行線，應先用平行線同位角與補角求出 △ABC 的兩個內角，再用三角形內角和。L∥BC，且 L 與 AC 相交；圖示的 120° 與 ∠C 為平角關係，所以 ∠C=180°−120°=60°。M∥AB，且 M 與 AC 相交；圖示的 115° 與 ∠A 為平角關係，所以 ∠A=180°−115°=65°。三角形內角和為 ∠A＋∠B＋∠C=180°，代入得 65°＋∠B+60°=180°，∠B=180°−65°−60°=55°，故 A 為正解。

B：60° 是只算出 ∠C 的角度，未再用內角和扣除 ∠A，錯誤。

C：65° 是只算出 ∠A 的角度，未再用內角和扣除 ∠C，錯誤。

D：70° 是直接把 115°、120° 當作三角形內角處理；它看起來對，是因為兩個題示角數值很醒目，但它們須先取補角才是 ∠A、∠C，錯誤。

本題考點：平行線角度——同位角相等，與直線相鄰的角和為 180°；三角形內角和——先求已知的兩個內角，再以 ∠B=180°−∠A−∠C 求第三角。

正解：兩種方案都買一雙球鞋與一雙皮鞋，先以較貴鞋 M、較便宜鞋 m 比較總價。特惠活動是較便宜的一雙打 6 折，花費=M+0.6m；折價券全打 8 折，花費=0.8(M+m)。兩者差=(M+0.6m)−0.8(M+m)=M+0.6m−0.8M−0.8m=0.2M−0.2m=0.2(M−m)=50。故 M−m=50÷0.2=250。差為正，表示特惠活動較貴，使用折價券較少，故 B 為正解。

A：雖正確判斷折價券較省，但價差應為 250 元，不是 100 元。

C：100 元不是由 0.2(M−m)=50 解得，且較省者誤判為特惠活動。

D：價差 250 元正確，但差為正表示特惠活動較貴，較省者不是特惠活動。

本題考點：折扣方案比較——把兩方案都寫成總價後相減；差值為正表示前式較貴，0.2(M−m)=50 時兩鞋定價差為 250 元。

正解：題幹同時給重心與切線，先用重心比例求切線三角形的角。AD 是中線，重心分中線 AG:GD=2:1；令 GD=r，則 AG=2r。半徑 GE 垂直切線 AE，所以在直角三角形 AEG 中，sin∠EAG=GE÷AG=r÷2r=1/2，故 ∠EAG=30°。兩切線對稱，∠EAF=2×30°=60°。又 ∠BAC=180°−40°−45°=95°，所以 ∠1+∠2=95°−60°=35°，故 B 為正解。

A：30°只得到單側的 ∠EAG，沒有用三角形內角和及兩切線夾角。

C：40°不是由 95°−60° 得出，重心比例或切線角的計算有誤。

D：45°相當於只以 95°減錯角度；它看起來對，是因為容易漏掉 ∠EAF 由兩個 30°組成。

本題考點：重心與切線——重心把中線按頂點到重心：重心到中點=2:1 分割；半徑垂直切線，直角三角形可由 sin 值求角，再用三角形內角和扣除切線夾角。

正解：摺疊保長且正三角形的角為 60°，可由相似三角形求出 FG，再從 CF 扣除。摺後 FB'=BF=8，且 FA=16，所以 FB'÷FA=8÷16=1÷2。又 ∠GFB'與∠DFA 為對頂角，故 △GFB'∼△DFA，FG÷FD=1÷2，FG=14×1÷2=7。摺疊保長，DB=DB'=DF+FB'=14+8=22，因此正三角形邊長 AB=AD+DB=10+22=32；CF=AC−AF=32−16=16；CG=CF−FG=16−7=9，故 C 為正解。

A：7 是 FG，不是題目要求的 CG。

B：8 把 FB 的已知長度誤當作 CG，未使用相似比與 CF−FG。

D：10 不是 16−7 的結果，對應邊比例或最後扣除錯誤。

本題考點：摺疊與相似——摺疊保持線段長度；以對頂角和對應邊比建立相似，先求 FG，再以 CG=CF−FG 求所需線段。

正解：AB 是直徑，先以直徑所對圓周角為直角求等弦，再檢驗另一組。∠ACB=90°，所以 BC=√(AB²−AC²)=√(10²−6²)=√64=8=AD。等弦對等弧，弧AD=弧BC，故弧AC+弧AD=弧AC+弧BC=半圓弧AB，第一式成立。再算 BE=√(AB²−AE²)=√(10²−5²)=√75，約為 8.66；AF=9≠√75，第二式不成立，故 B 為正解。

A：第一式成立，但第二式需 AF=BE；9≠√75，不能判為成立。

C：把第一式判錯，忽略 BC=AD 所以兩弦對應弧相等。

D：同時把第一式判錯；弧AC加弧AD確實等於半圓弧AB。

本題考點：圓的弦與弧——直徑所對圓周角為 90°，可用畢氏定理求弦長；等弦對等弧，判斷弧和前須先驗證對應弦是否相等。

正解：圖形往上平移只改變頂點高度，不改變對稱軸，因此要用拋物線的對稱性比較兩根。原式 y=−(x+6)²+5 的對稱軸是 x=−6，令 y=0 得 (x+6)²=5，所以 a=−6−√5、b=−6+√5；a+b=−12，b−a=2√5。向上平移 k（k>0）後，方程式為 0=−(x+6)²+5+k，得 c=−6−√(5+k)、d=−6+√(5+k)。故 c+d=−12=a+b，且 d−c=2√(5+k)>2√5=b−a，故 A 為正解。

B：雖根和相等，但向上平移後 √(5+k)>√5，兩根距離應變大，不是變小。

C：對稱軸仍是 x=−6，所以根和仍為 −12，不會變大。

D：根和不會變大，且兩根距離的比較也寫反。

本題考點：拋物線平移與根——上下平移不改變對稱軸，兩根和等於對稱軸橫坐標的 2 倍；開口向下的圖形上移時與 x 軸交點向兩側擴張。

正解：題幹的等角條件可各建一組相似三角形，再從整個三角形扣除兩塊。圖示 BC=16，且由 ∠FAC=∠B、∠FCA=∠BCA，得 △CAF∼△CBA。相似比給 CA²=CF×CB=80，且 △CAF:△ABC=CF:CB=5:16。又 ∠BDE=∠C、∠DBE=∠B，得 △BDE∼△BCA；BD=AC，所以 △BDE:△ABC=AC²:BC²=80:256=5:16。四邊形 ADEF 的面積比=1−5/16−5/16=1−10/16=6/16=3/8，故 D 為正解。

A：1:3 沒有正確扣除兩個相似小三角形的面積。

B：1:4 只扣除一塊或誤把兩塊面積各算錯。

C：2:5 把邊長比直接當成面積比，未依相似比平方或題設比例計算。

本題考點：相似三角形面積——先由兩角相等建立相似，再以對應邊求面積比；剩餘四邊形面積比=1−兩個被扣除三角形的面積比。

正解：題幹明定發光效率＝光通量÷功率，因此要把每支燈管的光通量除以對應功率。PA-20 的發光效率＝1440÷20=72；PB-14 的發光效率＝1200÷14=85 又 5/7，因為 72<85 又 5/7，所以甲錯誤。PA 系列中，PA-20=1440÷20=72，PA-30=2340÷30=78，PA-40=3360÷40=84；72<78<84，可見功率較大的燈管發光效率較高，所以乙正確，故 D 為正解。

A：甲、乙皆正確，但甲的比較應為 72<85 又 5/7，並非 PA-20 較高。

B：甲、乙皆錯誤，但乙的三個比值為 72、78、84，確實隨功率增加而提高。

C：甲正確、乙錯誤，同時把 72<85 又 5/7 誤判為甲正確，並忽略 72<78<84 所顯示的趨勢。

本題考點：比值比較——發光效率＝光通量÷功率，必須將各燈管的具體數值代入後再比較；系列趨勢——PA 系列的效率依序為 72、78、84，功率與效率同向增加。

正解：表（三）給基本方案施工費 45000 元、90 支 PA-40 燈管；省電方案施工費 60000 元、120 支 PB-28 燈管，須先算施工費差與每小時電費差。施工費差=60000−45000=15000（元）。基本方案每小時耗電=90÷1000×40×1=3.6（度）；省電方案每小時耗電=120÷1000×28×1=3.36（度）。每小時少耗=3.6−3.36=0.24（度），每小時省電費=0.24×5=1.2（元）。要使節省電費高於施工費差，列 1.2t>15000；兩邊除以 1.2，得 t>12500。因此至少要超過 12500 小時，故 D 為正解。

A：12200 小時時節省=1.2×12200=14640 元，未超過 15000 元。

B：12300 小時時節省=1.2×12300=14760 元，未超過 15000 元。

C：12400 小時時節省=1.2×12400=14880 元，未超過 15000 元。

本題考點：電能與一次不等式——電能=燈管數÷1000×功率×使用時間；先以每度電費換算每小時省下的金額，再以節省金額>施工費差列不等式，嚴格大於表示使用時間須超過臨界值。

考點：指數律與指數大小比較，搭配時間單位換算。

(1) 先把培養時間換成小時：15 天 = 15×24 = 360 小時。每 20 小時分裂一次，故分裂次數為 360÷20 = 18（次）。 每分裂一次，1 個細胞變成 4 個，等於乘以 4。從 1 個細胞開始，經過 18 次分裂後共有 1×4^18 = 4^18 個細胞。 題目說共分裂成 4^k 個，比較指數得 k = 18。

(2) 先算製作 8 公克「綠藻粉」所需的細胞數：每 1 公克需 60 億個，8 公克需 8×60 億 = 480 億（個）細胞。 接著估算 4^k = 4^18 的大小。利用指數律：4^18 =(2^2)^18 = 2^36。 題目已知 60 億介於 2^32 與 2^33 之間，即 2^32 < 60 億 < 2^33。 把所需的 480 億改寫成 480 億 = 60 億×8 = 60 億×2^3，兩邊同乘 2^3: 2^32×2^3 < 60 億×2^3 < 2^33×2^3，即 2^35 < 480 億 < 2^36。 因此所需細胞數 480 億 < 2^36 = 4^18 = 細胞總數。 結論：4^18 個綠藻細胞「足夠」製作 8 公克的「綠藻粉」。 （實際數值：4^18 = 2^36 = 687.19…億個，明顯多於所需的 480 億個。）

最終答案：(1) k = 18。(2) 足夠。

考點：依規則建立「牌值」的加減模型，並用一次方程式與古典機率求解。

先整理牌的張數：點數小的牌（2 到 9，共 8 種）每種 4 張，計 8×4=32 張，每發 1 張牌值加 1；點數大的牌（10、J、Q、K、A，共 5 種）每種 4 張，計 5×4=20 張，每發 1 張牌值減 1。兩者合計 32+20=52 張，與一副 52 張相符。

(1) 發出 11 張小的、4 張大的，牌值依規則計算： 牌值 = 11×(+1) + 4×(−1) = 11 − 4 = 7。 故此時牌值為 7。

(2) 設已發出的 28 張中，小的有 a 張、大的有 b 張。 由總張數：a + b = 28。 由牌值：a×(+1) + b×(−1) = 10，即 a − b = 10。 兩式相加得 2a = 38，故 a = 19、b = 9。 因此剩下的牌中： 小的剩 32 − 19 = 13 張，大的剩 20 − 9 = 11 張， 剩牌共 13 + 11 = 24 張（也等於 52 − 28 = 24，吻合）。 每張被發出的機會相等，故下一張是點數大的牌的機率： P = 11/24。

答：(1) 牌值為 7；(2) 機率為 11/24。