分科測驗數學乙歷屆試題

正解：圓的標準式為 (x−h)^2+(y−k)^2=r^2，可直接代入指定點檢驗。（A）的左式在 (1,1) 為 (1−1)^2+1^2=1，右式也是 1，且兩平方項係數相同，確為通過該點的圓，故選 A。

B：點 (1,1) 是此圓的圓心，代入左式為 0，不等於右式 1，因此不在圓上。

C：代入 (1,1) 雖成立，但 x、y 的平方項係數不同，圖形是橢圓而不是圓。

D：代入 (1,1) 得 1^2+1^2=2，不等於 1，所以不通過該點。

E：代入指定點雖成立，但式子可改寫為 y=(4−x^2)/3，是拋物線而非圓。

本題考點：圓的標準式（standard form of a circle）——兩個平方項係數相同且沒有一次項時，可由圓心與半徑判斷；代入檢驗——判斷圖形是否通過某點時，把點的坐標代入等式兩側比較；二次曲線（conic sections）——通過同一點不代表是同類圖形，還要辨認方程式結構。

正解：對數求和先確認完整的底數、真數、求和範圍與括號；同底對數相加可合併成乘積，分式中的相鄰奇數因子再逐項約去，最後用換底公式核對結果，將各項的真數先相乘並約去相鄰因子，再依換底公式整理，所得結果符合（D）所示的正負號與底數、真數關係。故選 D。

A：在底數大於1時，負號必須由真數取倒數或換底後的倒數關係推出，不能只改變符號位置。

B：相同常數在不同底數下的對數值不相同，必須固定底數後才能比較。

C：底數與真數互換時應依換底公式處理，兩者是倒數關係而非可直接互換。

E：求和或乘積中的指數、項數與括號都要先完整化簡，不能直接移到對數外。

本題考點：對數律（logarithm laws）——乘積化為和、冪次化為係數前，先確認真數的完整範圍；換底公式（change-of-base formula）——log_a b=1/log_b a，底數與真數交換會形成倒數；望遠鏡求和（telescoping sum）——相鄰分子、分母約去後只保留首尾因子，再檢查正負號。

正解：關鍵在 ∠A=91° 是鈍角，且 ∠B=60°、∠C=29°。由餘弦定理，a^2=b^2+c^2−2bc cos 91°；因 cos 91°<0，所以 a^2>b^2+c^2。再由正弦定理可比較 c/a，故選 AB。

A：鈍角所對邊 a 滿足 a^2>b^2+c^2，符合鈍角三角形的邊角關係。

B：c/a=sin 29°/sin 91°。因 0<sin 91°<1，所以 c/a>sin 29°。

C：b/a=sin 60°/sin 91°，小於 cos 29°，不能滿足題列的大於關係。

D：由餘弦定理，(a^2+b^2−c^2)/ab=2cos 29°。因 29°<30°，此值大於 √3，不符合題列的不等式。

E：由擴充正弦定理，c=2R sin 29°。因 sin 29°<1/2，所以 c<R，外接圓半徑 R 不會小於 c。

本題考點：餘弦定理（law of cosines）——先用角是否鈍角判斷對邊平方與另兩邊平方和的大小；正弦定理（law of sines）——同一三角形的邊長比可轉為對角正弦比；外接圓半徑（circumradius）——用 c=2R sin C 比較邊長與 R。

正解：複數分式的固定步驟是分子、分母同乘分母的共軛複數，使分母化為實數，再將結果整理成 a+bi 並比較實部與虛部。若分母為 p+qi，則乘以 p−qi 後分母為 p^2+q^2；實部與虛部都必須保留正負號。複數分式任一符號不同都會改變實部與虛部，因此本題數值結論不確定；官方答案格式為 -|4|3，故選 -|4|3。

本題考點：虛數單位（imaginary unit）——i^2=−1，化簡時每出現 i^2 都要改寫為 −1；共軛複數（complex conjugate）——p+qi 的共軛是 p−qi，相乘可消去虛部；複數除法（complex division）——同乘共軛後要分別整理常數項與 i 的係數，才能正確讀出 a、b。

正解：題幹給的線索是「x=-3 有極小值、x=1 有極大值」，這直接定出 f'(x) 的兩個根；「通過反曲點的切線斜率為 4」則定出係數。f 為實係數三次多項式，故 f'(x) 為二次且以 -3、1 為根，可設 f'(x)=k(x+3)(x-1)，k≠0。 先定 k 的正負：左端 x=-3 是極小、右端 x=1 是極大，代表 f 在 -3<x<1 之間遞增，即該區間 f'(x)>0；而 (x+3)(x-1) 在 -3<x<1 為負，故必須 k<0。 再定 k 的值：f'(x)=k(x²+2x-3)，f''(x)=k(2x+2)，令 f''(x)=0 得 x=-1，即反曲點的 x 坐標。通過反曲點的切線斜率就是 f'(-1)=k((-1)²+2×(-1)-3)=k(1-2-3)=-4k。依題設 -4k=4，得 k=-1，與前述 k<0 相符。 故答案為 f'(x)=-(x+3)(x-1)=-(x²+2x-3)=-x²-2x+3。

本題考點：極值點與導函數的根（critical points）——極大值、極小值所在的 x 坐標就是 f'(x)=0 的根，可直接把 f'(x) 寫成因式相乘的形式；由增減判定首項係數符號（sign of the leading coefficient）——比較兩個極值的左右順序，決定兩根之間 f' 該正或該負，這一步漏掉就會漏解或取到錯誤的 k；反曲點（inflection point）——f''(x)=0 之處，三次函數的反曲點必落在兩個極值點的中點，可拿來自我檢核。